第六节压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征,我们介绍 Banach压缩 决象原理,它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的 工具。 随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微 分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等)的过 程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说:对 个方程,只要我们找到一个迭代公式,就算解出了这个方程(当 然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问 题)。但是,在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是 个收敛序列,否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就 是寻求变换(映射、映照)的不动点。例如求方程f(x)=0的根, 我们可令g(x)=x-f(x),则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动 点,即求,使 而在通常求映射的不动点的方法中,最 简单的就是下面我们所讲的- Banach压缩映象定理。 定义(压缩映象 设T是度量空间X到ⅹ中的映照,如果对 都有 是常数)则称T是X上的一个压缩映照。 从几何上说:压缩映照即点ⅹ和y经过映照T后,它们的像 的距离缩短了(不超过d(x,y)的倍) 定理1( Banach压缩映照原理)1922年 ( Banach1892-1945波兰数学家) 设(X,d)是一个完备度量空间,T是X上的一个压缩映照, 则T有唯一的不动点。即的使 证:任取令 (此即解方程的逐次迭代法) 先证是 Cauchy点列 ①①先考虑相邻两点的距离 ②再考虑任意两点的距离 当nⅫm时第六节 压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍 Banach 压缩 映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的 工具。 随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微 分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过 程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一 个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当 然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问 题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是 个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就 是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程 f(x)=0 的根， 我们可令 g(x)=x-f(x)，则求 f(x)=0 的根就变成求 g(x)的不动 点，即求 ,使 .而在通常求映射的不动点的方法中，最 简单的就是下面我们所讲的--Banach 压缩映象定理。 定义（压缩映象） 设 T 是度量空间 X 到 X 中的映照，如果对 都有 （ 是常数）则称 T 是 X 上的一个压缩映照。 从几何上说：压缩映照即点 x 和 y 经过映照 T 后，它们的像 的距离缩短了（不超过 d(x,y)的 倍） 定理 1（Banach 压缩映照原理）1922 年 （Banach 1892-1945 波兰数学家） 设（X,d）是一个完备度量空间，T 是 X 上的一个压缩映照， 则丅有唯一的不动点。即 的 使 证：任取 令 （此即解方程的逐次迭代法） 先证 是 Cauchy 点列 ① ① 先考虑相邻两点的距离 ②再考虑任意两点的距离 当 n>m 时