§43定积分的两个积分法则 定积分换元积分法 目若函数f(x)在a,b上连续,函数x=()在a,B上 是单值的,且有连续的导数q(t),当在a,B上变 化时,x=p(t)的值在a,b上变化,且有g(a)=a, P(B)=b, 则有定积分换元公式: ∫(x)=J。om)d(()=。1o()p(ot 注:换元的同时要换限 例1: +2 dx √2x+1 目解:令√2x+1=t,则x= dx= tdt 2 当x=0时,t=1当x=4时,t=3 x+2 +2 bdx o0√2x+1 2J,(t2+3)d (t3+3 2 23 36 §4.3 定积分的两个积分法则 一、定积分换元积分法 ( ) [ , ] () [ , ] () [ , ] () [ , ] () ( ) f x ab t x t t a b t x ab ϕ αβ ϕ ϕ α β ϕ α ϕ β ′ = = = = 若函数 在 上连续， 且 函数 在 上 是 的， 且 有连续的导数 ，当 在 上变 化时， 的值在 上变化， 有 单值 ， ， 注：换元的同时要换限 ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) () () b a f x dx f d f t t d t t t β β α α = = ϕ ϕ ϕ ϕ′ ∫∫ ∫ 则有定积分换元公式： 例1：∫ + 4 + 0 2 1 2 dx x x 2 1 2 2 1 t x t + = x dx t t d − 令 ，则 ， = = 当 时， 0 x = t = 1 当 时， 4 x = t = 3 2 4 3 0 1 1 2 2 2 2 1 t x dx t t dt x − + + = + ∫ ∫ ∫ = + 3 1 2 ( 3) 2 1 t dt 3 1 3 3 ) 3 1 ( 2 1 = t + t 3 22 = 解：