自动控制系统及应用 式中k1,k2,…,k是由初始条件决定的积分常数:式中S1S2,…,S是特征方程式(5.2) 的根。这些根可能是实根,也可能是复数根。如果(5.2)式中有个实根,r对共轭复根 则有 ∏lan(s-s;)I-(a±j)=0 那么,式(5.3)可改写成 c()=∑ke"+∑e( A sin ot+ B cost) 由式(5.5)可知,如果s,G,都为负值,则limc(t)=0。这说明当系统特征方程式(5.2) 的全部根是负实根或具有负实部共轭复根时,则系统是稳定的。反之,若特征根中有一个或 多个根具有正实部,则limc(t)=∞,这样的系统就是不稳定的 因此,得出系统稳定的充要条件是:稳定系统的特征根必须全部具有负实部;反之,若 特征根中有一个或一个以上具有正实部时,则系统必为不稳定。或者说,若系统闭环传递函 数的全部极点位于[s]复平面之左半部,则系统是稳定的:反之,若有一个或一个以上的极 点位于[s]平面之右半部,则系统为不稳定的。 若有部分闭环极点位于虚轴之上,而其余的极点位于[sS]平面的左半部时,便出现了所 谓临界稳定状态。由于在实际运行过程中系统的参数值总是可能有变动,以及对这些参数的 原始估计和测量也可能不够准确,因此原来处于虚轴上的极点,实际上却可能分布到[s]平 面的右半部去,致使系统不稳定,因此从工程实践角度看,一般认为临界稳定属于系统的实 际不稳定工作状态 由系统稳定的充要条件可知,判断系统稳定与否的问题,就变成求解特征方程的根,并 校验其特征根是否都具有负实部的问题。但是当系统阶次较高时,求解其特征方程将会遇到 较大的困难,于是相继出现了一些不需求解特征方程的根而能间接判断特征方程根的符号的 方法,这就是下面开始要讨论的“稳定判据”。 5.2劳斯稳定判据 劳斯稳定判据并不直接对特征方程式求解,而是利用特征方程式根与系数的代数关系, 由特征方程中已知的系数,间接判别出方程的根是否具有负实部,从而判定系统是否稳定 它是一种代数稳定性判据 关于劳斯稳定判据的数学推导过程从略 应用劳斯稳定判据的步骤如下: 步骤1:列出闭环系统特征方程为 as"+a,,, s"-+.tata=o 其中an>0,各项系数均为实数。检查各项系数是否都大于零,若都大于零,则进行下 步。若某系数小于零或出现缺项,便可立即断定这样的系统是不稳定的 步骤2:列写劳斯阵表自动控制系统及应用 145 式中 1 k ， 2 k ， , n k 是由初始条件决定的积分常数；式中 1 s ， 2 s ， , n s 是特征方程式（5.2） 的根。这些根可能是实根，也可能是复数根。如果（5.2）式中有 l 个实根， r 对共轭复根， 则有 n i i i 1 1 ( ) [ ( )] 0 l r i i a s s s j   = =  −  −  = (5.4) 那么，式（5.3）可改写成 i i i i i i i 1 1 ( ) e e ( sin cos ) l r s t t i i c t k A t B t    = = = + +   (5.5) 由式（5.5）可知，如果 i i s , 都为负值，则 lim ( ) 0 t c t → = 。这说明当系统特征方程式(5.2) 的全部根是负实根或具有负实部共轭复根时，则系统是稳定的。反之，若特征根中有一个或 多个根具有正实部，则 lim ( ) t c t →+ =  ，这样的系统就是不稳定的。 因此，得出系统稳定的充要条件是：稳定系统的特征根必须全部具有负实部；反之，若 特征根中有一个或一个以上具有正实部时，则系统必为不稳定。或者说，若系统闭环传递函 数的全部极点位于[s]复平面之左半部，则系统是稳定的；反之，若有一个或一个以上的极 点位于[s]平面之右半部，则系统为不稳定的。 若有部分闭环极点位于虚轴之上，而其余的极点位于[s]平面的左半部时，便出现了所 谓临界稳定状态。由于在实际运行过程中系统的参数值总是可能有变动，以及对这些参数的 原始估计和测量也可能不够准确，因此原来处于虚轴上的极点，实际上却可能分布到[s]平 面的右半部去，致使系统不稳定，因此从工程实践角度看，一般认为临界稳定属于系统的实 际不稳定工作状态。 由系统稳定的充要条件可知，判断系统稳定与否的问题，就变成求解特征方程的根，并 校验其特征根是否都具有负实部的问题。但是当系统阶次较高时，求解其特征方程将会遇到 较大的困难，于是相继出现了一些不需求解特征方程的根而能间接判断特征方程根的符号的 方法，这就是下面开始要讨论的“稳定判据”。 5.2 劳斯稳定判据 劳斯稳定判据并不直接对特征方程式求解，而是利用特征方程式根与系数的代数关系， 由特征方程中已知的系数，间接判别出方程的根是否具有负实部，从而判定系统是否稳定。 它是一种代数稳定性判据。 关于劳斯稳定判据的数学推导过程从略。 应用劳斯稳定判据的步骤如下： 步骤 1：列出闭环系统特征方程为 1 n n-1 1 0 0 n n a s a s a s a − + + + + = 其中 n a  0 ，各项系数均为实数。检查各项系数是否都大于零，若都大于零，则进行下一 步。若某系数小于零或出现缺项，便可立即断定这样的系统是不稳定的。 步骤 2：列写劳斯阵表