Ch3 例6.1考虑云雾室中粒子的衰变。设任一特定粒子到达衰变所需要的 时间是一随机变量,服从参数为y的指数分布(对不同类型的粒子,其参数 y是不同的)。再设对于云雾室中随机选取的粒子,其参数y是另一随机变 量Y的一个值,而Y服从r(a,B),其中参数a,B是由观察粒子的实验条件 所决定的正的常数。求从云室中随机选取的粒子到达衰变所需时间X的概 率密度函数 解由题目条件可知X的条件概率密度为 ≤ (X,Y)的联合密度为p(x,y)=px(xly)p(y),于是X的概率密度为 PX (a, y)dy Pxjy(aly)py(y)dy (a) dy y r(a)(6+x)+1 +ra 即X的密度函数为 Px(a 7a+,x>0 例62设(X,Y)~N(1,p2,02,02,p),求mx(ylr) 解已经知道X~N(p1,2),代入条件概率公式计算整理可知P1x(y) 是正态分布N(2+p-(x-1),、(1-p2)2)的密度函数。也就是说,二元正 态分布的条件密度还是正态分布Ch3 3 ❂ 6.1 ✯✂✱✂➃✂➄✂➅ ❍✢➆✓➇☛✓➈✓❀❘✕➉✥♠✓❃✓➊✓➋◗➆✓➇✓▼✓➌➈◗❀✓➍✓➎✓➏✓☛ ❩✎➐✑✦✂❃☞✂✌✂❀✂✏❁✧➒➑✓➓✂➔❬ ✒ y ☛✂→❬ ✩✂✪↔➣ ❧ q✎↕✑➙✜✂☛➆✓➇✧✘★✓➔❬ y ✦ q✎↕☛❳➛➜✕➞➝✓✥❧ ❡➃◗➄✓➅ ❍☞◗✌✓➟✓➠◗☛➆◗➇✧➞★✓➔❬ y ✦✂➡✂❃☞✂✌✓❀ ✏ Y ☛❃ ✿❅➢❁✧➥➤ Y ➑❅➓ Γ(α, β) ✧➥★❍➔❬ α, β ✦ ✷⑩➦❅➧➆❅➇☛✂➨✂➩✂✹✂✺ ➍✂➫➋ ☛✂➭✂☛✓➯❬ ✕➲❭✓➓✓➃✓➅ ❍☞✓✌✓➟✓➠✓☛➆◗➇✓▼✓➌➈✓❀✓➍◗➎❩■➐ X ☛✂✵ ✶✂❼✂❽✂⑧❬ ✕ ❛ ✷✑➳ ❏ ✹✂✺✂➵✂➸ X ☛✂✹✂✺✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX|Y (x|y) = ( ye −yx , x > 0, x 6 . (X, Y ) ☛✂❫✂❴✂❼✂❽✂✒ p(x, y) = pX|Y (x|y)pY (y) ✧ ❡✦ X ☛✂✵✂✶✂❼✂❽✂✒ pX (x) = Z ∞ −∞ p(x, y)dy = Z ∞ −∞ pX|Y (x|y)pY (y)dy = Z ∞ −∞ ye −yx β α Γ(α) y α−1 e −βy dy = β α Γ(α) Z ∞ −∞ y α e (β+x)u dy = β α Γ(α) Γ(α + 1) (β + x) α+1 = αβ α (β + x) α+1 . ➂ X ☛✂❼✂❽✂⑧❬ ✒ pX(x) =    αβ α (β + x) α+1 , x > 0 0, x 6 0. ❂ 6.2 ✥ (X, Y ) ∼ N(µ1, µ2, σ 2 1 , σ 2 2 , ρ) ✧❪❭ pY |X(y|x) ✕ ❛➻➺➽➼➾➸➾➚ X ∼ N(µ1, σ 2 1 ) ✧➶➪➾➹➾✹➾✺➾✵➾✶➾✻❅✼❅✇➾①❅➘❅➴❅➵➾➸ PY |X(y|x) ✦ ➭❅➷❅✩❅✪ N(µ2 + ρ σ2 σ1 (x − µ1),(1 − ρ 2 )σ 2 2 ) ☛❅❼❅❽❅⑧❬ ✕➮➬❹✂✦✂➱✧➮✠✂✃✂➭ ➷✂✩✂✪✂☛✂✹✂✺✂❼✂❽✂❐✦ ➭✓➷✂✩✓✪✖✕ 3