Ch4 第四章随机变量的数字特征 §1随机变量的数学期望 对于一个随机变量,我们希望找到一个数值来体现它的取值的平均大 小。在考虑平均的时候,不仅仅要看它的取值,还要考虑到它取那些值的相 应的概率。为此,我们定义了数学期望 先看离散型随机变量。 定义设离散型随机变量X的概率分布列为 P(X=Ik)=Pk, k=1, 2 则称和数 LkPk P(X=Tk) 为随机变量X的数学期望,记作E(X) 在这里,还要要求上面的级数绝对收敛,这样才能保证该和数不会受求 和次序的影响。下面给出几个常用的离散型分布的期望。 (1)两点分布 设X服从参数为P的两点分布,容易计算 E(X)=0·q+1·p=p. (2)二项分布 设X~B(n,p),即 P(X=k)=Cmpq-k,k=0,1,……,n E(X)=∑kCh^qn k=0Ch4 4 ❒✎❮✑❰ Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Õ✂Ö✂× §1 Ï✂Ð✂Ñ✂Ò✂Ó✂Ô✂Ø✂Ù✂Ú ❧ ❡❃ ✿◗☞◗✌◗❀◗✏❘✧✢Û❷Ü❷Ý◗Þ❷ß▼❷❃✿❬ ➢◗t❷à❷á❷â◗☛❷➠❷➢◗☛❷ã❷ä❷å æ✕➒✆✂✯✂✱✂ã✂ä✂☛❩✓ç✧ q✓è✓è➏✓✙✓â✓☛✓➠✂➢❘✧é❐✓➏✓✯✂✱▼â✓➠✓ê✓ë✓➢✓☛✂❢ ❣✂☛✂✵✂✶❁✕❪✒✂②✖✧✘Û✓Ü➋✓ì✓í✂❬✓î✂ïÞ✖✕ ✗✂✙✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏❁✕ ð✂ñ ✥✂✚✂✛✂✜✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛✂✵✂✶✂✩✂✪✂✫✂✒ P(X = xk) = pk, k = 1, 2, · · · , ✬✾ ❲✂❬ X k xkpk = X k xkP(X = xk) ✒✂☞✂✌✂❀✂✏ X ☛❬✂î✂ïÞ❁✧❪⑨✂❶ E(X) ✕ ✆✂✝✂✞❁✧❋❐✂➏✂➏✂❭✂ò✂④✂☛✂ó❬✂ô✓❧✂õ✓ö✧❪✝✂÷✓ør✓ù✂ú✓û❲✓❬q✓ü✂ý❭ ❲✂❖✂þ☛✂ÿ✁￾❁✕❪✴✓④✄✂✆☎✞✝✂✿✓➯s☛✓✚✂✛✓✜✓✩✂✪✓☛ïÞ✖✕ (1) ◆✁✟✩✂✪ ✥ X ➑✂➓✂➔❬ ✒ p ☛◆✁✟✩✂✪❁✧✡✠✁☛✂✇✓① E(X) = 0 · q + 1 · p = p. (2) ✠✁☞✂✩✂✪ ✥ X ∼ B(n, p) ✧❪➂ P(X = k) = C k n p k q n−k , k = 0, 1, · · · , n ✬ E(X) = Xn k=0 kC k np k q n−k = Xn k=1 nCn−1k − 1p k q n−k = npXn−1 k=0 C k n−1 p k q n−1−k = np. 4