根据证明定理时同样的理由,这个积分趋于零又 a(x a(x+△x) f(x+Ax,y)dsmA(x+Ax)-a(x), SpuNta, /(x+4x, y)dy SMB(x+Ax)-B(xl 其中M是∫(x,y)在矩形R上的最大值根据a(x) 与B(x)在[,b上连续的假定,由以上两式可见, 当△x→0时,(4)式右端的前两个积分都趋于 零.于是,当△→0时, Φ(x+△x)-Φ(x)→>0(a≤x≤b), 所以函数Φ(x)在[a,b上连续 定理得证 上页根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又 ( , ) ( ) ( ). ( , ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y dy M x x x f x x y dy M x x x x x x x x x         +   +  − +   +  −   + + 其中 是 在矩形 上的最大值. 根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见， 当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于 零. 于是，当 时， M f (x, y) R (x)  (x) [a,b] x → 0 x → 0 (x + x) − (x) → 0 (a  x  b), 所以函数 (x) 在 [a,b] 上连续. 定理得证