积分,而右边积分根本没有矢量场,所以与矢量场的选择无关.为什么这个 数目等于 Euler示性数呢?现在既然它跟矢量场选择无关,你就任取一个矢 量场,比方说,线使有个筷面,你把筷面分割了,分割成小块,每个小块是理 角形.对于这理角形,每个边取它的中点,理角形取它的重心,你就可以定 个矢量场,就象我所画的.从顶点出去,然后到理角形的重心就进去.对于 这样子定的矢量场很容是看出来,刚巧在边量的这种点的指标等于-1.于 是它在顶点的指标是1,在理角形重心的指标都是1,但是在边量每个点指标 为-1.所以把这指标加起来的话,就等于顶点的个数+面的个数一边的个数 因此就是 Euler示性数.这样子证就了 Gauss.- Bonnet公式 4 Gauss-Bonnet公式的推广及应用 Gaus- Bonnet公式真到有用的时候是筷面有边界.在筷面有边界的时候 Gauss-Bonnet公式是顶点+顶点的外角+边的测为筷件( geodesic curva ture),再加量在面的Gaus筷件下面是一般的 Gauss-Bonnet公式 ∑(-0)(点+∑/4)(边)+∑/4(m=2mx(M)(69) 对于有边界的筷面,头一部分是边界顶点的点筷件,其次是边界的边的线 筷件,然后整个的这个东西的面筷件,所以你有一个有边界的筷面,你就 取边界的点筷件+边界的线筷件+面筷件,是 Euler示性数.证就是一样的 真到 Gauss-Bonnet公式最有用的是有边界的情况.比方说,在一个 Euclid把 面,线使有一个理角形,这个理角形由直线所成由于空间是 Euclid空 间,Gaus件=0;线使边都是直线,所以测为筷件也是0.因此这个就是 说∑(丌-a)等于2丌.这是因为要是理角形, Euler示性数是1.右边要等于2r 所以这就说就理角形理角之和在 Euclid把面量等于. Gauss.- Bonnet公式是 理角形理角和公式在一般情形的推广.这个观念重要极了,它就是整个纤 维丛的观念我说,由这个纤维丛, Maxwell)程就是这个情况的推广.你到 物理量应用的时候,你的空间是4维,是3维空间+1维时间,是4维的洛仑兹流 形.那么要表 Maxwel)程的话,你要用一个圆周丛,实际量是一个复的直è■, ✌➁✣è■✃ý➊❿✪Þ➐, ➘✶➛✪Þ➐④➔✡➹✞. ➃✤➃❨➬ ❥ø⑧➉Euler ✰✉❥✑? ✙ó✑❧➬❐✪Þ➐➔✡➹✞, ✜Ò⑧❘✘➬✪ Þ➐, ✞✵⑨, ✧✫❿➬▼➪, ✜➨▼➪■➾ê, ■➾➘❇▲, ➎➬❇▲✹➤ ♥♦. é➉❨➤♥♦, ➎➬✣❘➬④➙➎, ➤♥♦❘➬④➢❡, ✜Ò✱✶➼ ✘➬✪Þ➐, Ò✻➲➘➌④. ✱➸➎ñ❱, ❧⑨t➤♥♦④➢❡Ò➓❱. é➉ ❨ø✝➼④✪Þ➐✐➂✹✗ñ✉, ➛✜ó✣Þ④❨➠➎④➁✮⑧➉−1. ➉ ✹➬ó➸➎④➁✮✹1, ó➤♥♦➢❡④➁✮Ñ✹1, ❜✹ó✣Þ➎➬➎➁✮ ➃−1. ➘✶➨❨➁✮✜å✉④➏, Ò⑧➉➸➎④➬❥+➪④➬❥−✣④➬❥, ❖✩Ò✹Euler ✰✉❥. ❨ø✝②ÒêGauss-Bonnet Ú✯. 4 Gauss-BonnetÚ✯④▼✒ù❛⑦ Gauss-BonnetÚ✯❪t❿⑦④✣⑧✹▼➪❿✣➂. ó▼➪❿✣➂④✣⑧, Gauss-Bonnet Ú✯✹➸➎+➸➎④✐♥+✣④⑧➃▼●(geodesic curva￾ture), ò✜Þó➪④Gauss▼●. ✆➪✹✘➘④Gauss-BonnetÚ✯ X(π − α) (➎) + XZ kg(s)ds (✣) + XZ Z KdA (➪) = 2πχ(M) (6.9) é➉❿✣➂④▼➪, ❃✘❭■✹✣➂➸➎④➎▼●, Ù✬✹✣➂④✣④✧ ▼●, ❧⑨r➬④❨➬➚Ü④➪▼●, ➘✶✜❿✘➬❿✣➂④▼➪, ✜Ò ❘✣➂④➎▼●+✣➂④✧▼●+➪▼●, ✹Euler✰✉❥. ②Ò✹✘ø④. ❪tGauss-BonnetÚ✯✦❿⑦④✹❿✣➂④❁❨. ✞✵⑨, ó✘➬Euclid➨ ➪, ✧✫❿✘➬➤♥♦, ❨➬➤♥♦❸❺✧➘➘. ❸➉✽✲✹Euclid✽ ✲, Gauss▼●=0; ✧✫✣Ñ✹❺✧, ➘✶⑧➃▼●✎✹0. ❖✩❨➬Ò✹ ⑨ P (π−α) ⑧➉2π. ❨✹❖➃✞✹➤♥♦, Euler ✰✉❥✹1. ➁✣✞⑧➉2π, ➘✶❨Ò⑨Ò➤♥♦➤♥❷❩óEuclid➨➪Þ⑧➉π. Gauss-BonnetÚ✯✹ ➤♥♦➤♥❩Ú✯ó✘➘❁♦④▼✒. ❨➬✡✬➢✞ôê, ➬Ò✹r➬✍ ➅✲④✡✬. ➲⑨, ❸❨➬✍➅✲, Maxwell✵➬Ò✹❨➬❁❨④▼✒. ✜t Ô➤Þ❛⑦④✣⑧, ✜④✽✲✹4➅, ✹3➅✽✲+1➅✣✲, ✹4➅④❜❯û✖ ♦. ￾➃✞✱Maxwell✵➬④➏, ✜✞⑦✘➬❐➧✲, ✧✓Þ✹✘➬❹④❺ 8