《数学分析》上册教案 第一意实数集与函数 海南大学数学系 (2)非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值. (3)若maxE存在，必有maxE=supE.对下确界有类似的结论. 3、确界原理： 定理1（确界原理）一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界。 这里我们给一个可以接受的说明。ER,E非空，3x∈E,我们可以找到一个整数P,使 得P不是E上界，而p+1是E的上界.然后我们遍查p.1,p.2,.,p.9和p+1,我们可以找到一 个9o,0≤96≤9，使得P4o不是E上界，p(q+)是E上界，如果再找第二位小数9，如 此下去，最后得到P.qqq,“,它是一个实数，即为E的上确界. 证明（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为 非负数，则存在非负整数”，使得 1)reS,有x>n: 2)存在x∈S,有x≤n+1: 把区间mn+川10等分，分点为n.1,n.2,·,n.9,存在m,使得 1)廿eS,有：x>nn: 2)存在∈S,使得≤m+市】 再对开区间”，n%+品】10等分，同理存在，使得 1)对任何x∈S,有x>nn,”: 2)存在本，使≤mn,+ 继续重复此步骤，知对任何k=12.,存在”使得 1D对任何xeS,x>nn一， 2)存在∈S,4≤nn,n. 因此得到7=mn%m.以下证明刀=fS. 1)对任意x∈S,x>7: 2》对任何a>n,存在x'eS使a>x. 作业：P91(1),(2:24(2)、(4):7《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 11 （2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若 max E 存在, 必有 max E = sup E. 对下确界有类似的结论. 3、确界原理: 定理 1(确界原理) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界. 这里我们给一个可以接受的说明. E  R，E 非空，  x  E ，我们可以找到一个整数 p ，使 得 p 不是 E 上界，而 p +1 是 E 的上界.然后我们遍查 p.1 , p.2 ,  , p.9 和 p +1 ，我们可以找到一 个 0 q ，0  q0  9 ，使得 0 p.q 不是 E 上界， .( 1) p q0 + 是 E 上界，如果再找第二位小数 1 q ， , 如 此下去，最后得到 p.q0q1q2  ，它是一个实数，即为 E 的上确界. 证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设 S 中的元素都为 非负数，则存在非负整数 n ，使得 1） xS ，有 x  n ； 2）存在 x1 S ，有 x  n +1 ； 把区间 (n,n +1] １０等分，分点为 n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在 1 n ，使得 1） S ，有； 1 x  n.n ； 2）存在 x2  S ，使得 10 1 2 1 x  n.n + ． 再对开区间 ( . , . ] 10 1 n n1 n n1 + １０等分，同理存在 2 n ，使得 1）对任何 xS ，有 1 2 x  n.n n ； 2）存在 2 x ，使 2 10 1 2 1 2 x  n.n n + 继续重复此步骤，知对任何 k = 1,2,  ，存在 k n 使得 1）对任何 xS， x n n n nk k 10 1 1 2  .  − ； 2）存在 xk  S ， k n n n nk x  . 1 2  ． 因此得到  = n.n1n2 nk  ．以下证明  = inf S ． 1) 对任意 xS， x  ； 2) 对任何   ，存在 x S 使   x ． 作业： P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７