《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 证明设n=supA,7=supA且n≠7'，则不妨设n<n n=spA=x∈A有x≤n n=supA→对n<,3x∈A使n<,矛盾 例即R-0·(1·()月 E={-5,0,3,9,1l则有infE=-5. 开区间(a,b)与闭区间[a,b有相同的上确界b与下确界a. 例4设S和A是非空数集，且有SA则有supS≥supA,fS≤mfA. 例5设A和B是非空数集.若对r∈A和y∈B,都有x≤y,则有 sup As inf B. 证明yeB,y是A的上界，三sup Asy.一supA是B的下界， →spA≤infB. 例6A和B为非空数集，S=AUB.试证明：fS=mm{tA,fB} 证明x∈S,有x∈A或x∈B,由nfA和nfB分别是A和B的下界，有 x≥fA或x≥ifB.→x之min{nfA,infB} 即mimn{tA,infB是数集S的下界， →nfS≥mim{mfA,infB}又SA,三S的下界就是A的下界，infS是S的下界， 一nfS是A的下界，→infS≤infA,同理有itS≤ifB 于是有inf Ssmin{nfA,infB} 综上，有infS=min{nfA,infB 1、集与确界的关系：确界不一定属于原集合.以例(2)为例做解释。 2、确界与最值的关系：设E为数集， (1)E的最值必属于￡，但确界未必，确界是一种临界点. 10 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 10 证明 设  = sup A ， = sup A 且    ，则不妨设     = sup A  x A 有 x   =  sup A 对   ， 0   x A 使 0   x ，矛盾. 例 sup 0 R − = ，sup 1 n Z 1 n  + n     =   + ， 1 inf n Z 1 2 n n +      =   + E = − 5,0,3,9,11 则有 inf 5 E = − . 开区间 (a b, ) 与闭区间 a b,  有相同的上确界 b 与下确界 a . 例 4 设 S 和 A 是非空数集，且有 S  A. 则有 sup S  sup A, inf S  inf A. 例 5 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y  B, 都有 x  y, 则有 sup A  inf B. 证明 y  B, y 是 A 的上界,  sup A  y.  sup A 是 B 的下界,  sup A  inf B. 例 6 A 和 B 为非空数集, S = A B. 试证明: inf S = min inf A,inf B . 证明 x  S, 有 x A 或 x  B, 由 inf A 和 inf B 分别是 A 和 B 的下界,有 x  inf A 或 x  inf B.  x  min inf A,inf B . 即 min inf A,inf B  是数集 S 的下界,  inf S  min inf A,inf B . 又 S  A,  S 的下界就是 A 的下界, inf S 是 S 的下界,  inf S 是 A 的下界,  inf S  inf A; 同理有 inf S  inf B. 于是有 inf S  min inf A,inf B . 综上, 有 inf S = min inf A,inf B . 1、集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例 3⑵为例做解释. 2、确界与最值的关系: 设 E 为数集. （1） E 的最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种临界点