《数学分析》上册教鉴 第一意实数集与函数 海南大学数学系 问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）. 三、确界与确界原理 1、定义 定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数n满足：（①）对一切x∈S,有x≤？（即n 是S的上界)：（②）对任何a<,存在∈S,使得x>a(即n是S的上界中最小的一个)， 则称数n为数集S的上确界，记作n=supS. 命题1M=supE充要条件 1)M是E上界， 2)V6>0,3xeE使得x>M-8. 证明必要性，用反证法.设2)不成立，则宁5>0，使得x∈E,均有x≤M-6,与M 是上确界矛盾. 充分性，用反证法.设M不是E的上确界，即3M'是上界，但M>M'.令5=M-M>0, 由2)，3x'eE,使得X>M-6=M,与M'是E的上界矛盾. 定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数：满足：(1)对一切x∈S,有x≥5（即5 是S的下界)：(2)对任何B>5,存在x∈S,使得x,<B(即5是S的下界中最大的一个)， 则称数：为数集S的下确界，记作5=imfS. 命题25=infS的充要条件： 1)5是S下界： 2)e>0,xeS,有x<5+e 上确界与下确界统称为确界。 例3)s=1+少 n ,则spS=一，nfS=」 (2)E=yly=snxx∈(0，π)}则supE- inf E= 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的， 命题3设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 9 问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个). 三、 确界与确界原理 1、定义 定义 2（上确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足：(1) 对一切 x S  , 有 x  （即  是 S 的上界）; (2) 对任何   ，存在 0 x S  ，使得 0 x  （即  是 S 的上界中最小的一个）， 则称数  为数集 S 的上确界，记作  = sup . S 命题 1 M E = sup 充要条件 1） M 是 E 上界， 2）    0,  x E 使得 x  M − . 证明 必要性，用反证法.设 2）不成立，则 0,   0  使得  x  E ，均有 0 x  M −  ，与 M 是上确界矛盾. 充分性，用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即  M  是上界，但 M  M  .令  = M − M  0， 由 2），  x E ，使得 x  M − = M ，与 M  是 E 的上界矛盾. 定义 3（下确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足：（1）对一切 x S  , 有 x   （即  是 S 的下界）；（2）对任何    ，存在 0 x S  ，使得 0 x   （即  是 S 的下界中最大的一个）， 则称数  为数集 S 的下确界，记作  = inf S . 命题 2  = inf S 的充要条件： 1）  是 S 下界； 2）  ＞0， 0 0 x S x  ,有 ＜   + . 上确界与下确界统称为确界. 例 3（1） , ( 1) 1       − = + n S n 则 sup S = _, inf S = _. （2） E = y y = sin x, x(0,). 则 sup _, inf _. E E = = 注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 命题 3 设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的