《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 U-(a:6)=(a-8,a]2U_(a)={xla-8<xsa}; U(a.8)=(a-8.a)2U(a)={xla-6<x<aj. 5、0邻域，+o∞邻域，-m邻域 U(o)={xxM),(其中M为充分大的正数)： U(+o)={xr>M},U(-o)={xk<-M 二、有界集与无界集 什么是“界”？ 定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(),使得一切x∈S都有 x≤Mx≥L),则称S为有上（下）界的数集.数ML)称为S的上界（下界）：若数集S既有上 界，又有下界，则称S为有界集. 闭区间、(a,b)(a,b为有限数)、邻域等都是有界数集 集合E=y=snx,x∈(-o,+o)}也是有界数集 若数集S不是有界集，则称S为无界集 (-0,+0),(-0,0),(0,+o)等都是无界数集 集合E=少=x(0,1)也是无界数集 注：1)上（下）界若存在，不唯一： 2)上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1讨论数集N={nn为正整数)的有界性. 分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1:上界似乎无，但需要证明. 解：任取n,∈N,显然有m,≥1，所以N有下界1：但N,无上界.证明如下：假设N有上 界M,则MD>0,按定义，对任意m∈N,都有m≤M,这是不可能的，如取m=[M+L,则∈N, 且n>M 综上所述知：N,是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例2证明：(1)任何有限区间都是有界集：(2)无限区间都是无界集：(3)由有限个数组 成的数集是有界集。 《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 8     0 0 ( ; ) ( , ] ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a       + − − − = − = −   = − = −   5、 邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | ,  =    （其中 M 为充分大的正数）； U x x M ( ) , + =    U x x M ( ) − =  −   二、有界集与无界集 什么是“界”？ 定义 1（上、下界）： 设 S 为 R 中的一个数集.若存在数 M L( ) ，使得一切 x S  都有 x M x L   ( ) ，则称 S 为有上（下）界的数集.数 M L( ) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上 界，又有下界，则称 S 为有界集. 闭区间、 (a,b) (a,b 为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E = y y = sin x, x( − , +  ) 也是有界数集. 若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集. ( −  , +  ), ( −  , 0 ), ( 0 , +  ) 等都是无界数集, 集合       = = ,  ( 0 ,1) 1 x x E y y 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一； 2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例： 例 1 讨论数集 N n n + = | 为正整数 的有界性. 分析：有界或无界  上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界似乎无，但需要证明. 解：任取 0 n N  + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界 1；但 N+ 无上界.证明如下：假设 N+ 有上 界 M,则 M>0，按定义，对任意 0 n N  + ，都有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N  + ， 且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集. 例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组 成的数集是有界集