5.求极限lim 解 lim In In xdx=-1 →nk=1n 所以 li n→0n 6.计算下列反常积分: (1 JUncos.xdx (2。 xIn sin xdx o (3 xcotxdx Inx (5 解(1)令x=x-1,再利用例81.11,得到 ∫ In cos xdx= Isin tdr= --ln2。 (2)令x=-t,由 oxInsin xdx=Jo r Insintdt-JotInsin tdt 得到 ∫ a xInin xo= In sin xdx=r∫ In sin xd ln2。 (3)J]cot xdx=J2 xd In sin x=(xIn sin x)2-J2 Inin xdx=)In2 (4)令 t= arcsinx ,得到 I arcsin s dr= i cot tdt="In 2⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 解 = →∞ n n n n ! lim ln ∑ = = →∞ n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = − 1 0 ln xdx 1, 所以 n e n n n ! 1 lim = →∞ 。 ⒍ 计算下列反常积分： (1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x ln sin x 0 π ∫ dx。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 解 (1) 令 x = − t 2 π , 再利用例 8.1.11，得到 ln cos xdx 0 2 π ∫ = ∫ = 2 0 ln sin π tdt ln 2 2 π − 。 (2) 令 x = π − t , 由 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ − π π0 lnsin tdt ∫ π 0 t lnsin tdt , 得到 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ π π 0 ln sin 2 xdx = ∫ 2 0 ln sin π π xdx ln 2 2 2 π = − 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx = ∫ 2 0 ln sin π xd x x x xdx = − ∫ 2 0 2 0 ( ln sin ) ln sin π π ln 2 2 π = 。 (4) 令t = arcsin x , 得到 ∫ = 1 0 arcsin dx x x ∫ 2 0 cot π t tdt ln 2 2 π = 。 271