51、二次型及其矩阵表示 、三元二次型及其表示 定义1 二次齐次多项式 f(x,y, z) a22y2+a33z2+2anxy+2 a13xz+2 a23yz 称为实二次型其中a为实常数 取 21=a12,a1=a13,a32=a23, M, 2a12xy=a12xy+a21x, 2a13x2=013xz+a3lEx, 2a23yZ=a23y2+a32zy f=aurr2+aux+a13xz +a2iyx+a22y2+a2lz +a31zx +a324y+334 x(a1x+an2+a13x)+y(a2x+a2y+a23z)+z(a3x+a32+a3x) (x,y,)a21x+a2y+a23|=(x,y y=XTAX a31xta32y+ a33= 称A为二次型∫的矩阵,它是一个对称矩阵 三元实二次型f 对应 三阶实对称矩阵A 第七章二次型与三次茁面定义1 第七章 二次型与二次曲面 二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x 2 + a22y 2 + a33z 2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数. 一、三元二次型及其表示 §1、二次型及其矩阵表示 取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x 2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y 2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z 2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)           + + + + + + = a x a y a z a x a y a z a x a y a z x y z 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( , , )                     = z y x a a a a a a a a a (x, y,z) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = XT AX . 称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵. 三元实二 次 型 f 三阶实对称矩阵 A 一一对应 A X