第35卷第1期 大学物理 Vol.35 No.1 2016年1月 COLLEGE PHYSICS Jan.2016 教学研究 时空对称性与守恒律（上篇）一牛顿力学 赵凯华 (北京大学物理学院，北京100871) 摘要：艾梅·内特宜称，每一对称性对应一守恒律本文从时空平移和空间转动对称性导出牛顿力学中能量、动量、角动量 三大守恒定律 关键词：时空对称性：参考系；守恒定律 中图分类号：031 文献标识码：A 文章编号：1000-0712(2016)01-0001-03 在量子力学中对称性与守恒律之间的一般关系 律的表现形式为：体系能量的增加等于外力的功.这 是直截了当的，内特(E.Nother)早有论述.在经典力 一陈述通常称为“功能原理”，认为这里能量是不守 学中有关时空对称性与守恒律的关系，朗道 恒的狭义的“守恒”是能量不随时间变化要想回到 (L.D.Landau)在他有名的理论物理系列教材的《力 “守恒”的狭义概念，则需把外场算到时空的性质 学》卷山中已有精辟的论证该书是从作用量的变分 中，使时空成为不均匀的这便是本文的作法 出发的，根据惯性系时间平移、空间平移和空间转动 一般说来，这个势函数V不仅依赖于时空坐标 对称性找出拉格朗日量函数的特点，对封闭系分斑，，还会与质点的速度，4，…有关在非 推演出能量、动量和角动量和三大守恒定律用最小 相对论情形下作用力与速度有关的情形有三：一是 作用原理来论证不那么直观，本文将从牛顿力学的 带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力，二是在旋转参 通常表述形式来论证这一问题. 考系中的科里奥利力，三是摩擦力运动电荷之间的 宏观物体（包括可用牛顿力学处理的准宏观物 洛伦兹相互作用力不是超距的，要通过与电磁场交 体)之间的相互作用有弹性力、摩擦力、非理想气体 换动量来实现，不能在牛顿力学中处理，我们留到本 分子间的相互作用力（如范德瓦尔斯力）凝聚态物 文下篇中讨论.不过带电粒子在外电磁场中受力的 体的内应力，以及万有引力等.除万有引力外，前面 问题，可以在牛顿力学里讨论.旋转参考系可在考察 各项从微观本质上看，都不外乎是电磁相互作用，在 之列.耗散力引起的能量转化超出力学范围，我们将 非相对论近似的牛顿力学中这些力都可看作是超距 不在这里讨论 力或接触力，并表现在一个势函数U中（下文将引 按照Goldstein的经典名著《Classical Mechan- 人一个包含速度的广义势函数，可将摩擦力纳人其 ics》2]中所说的，有些力与速度有关时，系统的总势 中)，本文将U中的外场部分U“视为系统所处时空 函数要用一种广义势函数U来表示.第i个质点受 性质的表示，在相对理论中，外场反映在时空度规 的力F:与U的关系是 里.取牛顿近似时，时空平直，外场化为势函数.本文 F.=-aU,d/av (1) 讨论的是牛顿力学，外场的势函数似乎应不属于时 ar:dt\av. 空的性质，而时空总是平直的，即具有所有平移和转 现把U分为与速度无关部分U。和与速度有关部分 动的对称性，从而按照内特定理，三大守恒定律都成 △U,即U=U。+△U.对于在恒外磁场中的带电粒子， 立，本文就没有什么可讨论的了.然而这里讨论的是 非封闭系问题，所以才有外场.有外场时能量守恒定 △U=- 空4g=2u×8(2倒 收稿日期：2015-10-09 作者简介：赵凯华(1930一)，男，浙江杭州人，北京大学物理学院救授，2008年获教育部物理恭础救学指导委员会和中国物理学会教学 委员会颁发的“物理教学杰出成就奖”.第 35卷第 l期 2016年 1月 大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS Vo1．35 No．1 Jan．2016 时 空对 称 性 与 守 恒 律 (上 篇 )—— 牛 顿 力 学 赵 凯华 (北 京 大 学 物理 学 院 ，北 京 100871) 摘要 ：艾梅 ·内特宣称 ，每一 对称 性对应一守恒律．本文从时空平移 和空间转 动对称 性导出牛顿力学中能量 、动量 、角动量 三大守恒定律． 关键词 ：时空对称性 ；参 考系 ；守恒定律 中 图 分 类 号 ：O 31 文 献 标 识 码 ：A 文 章 编 号 ：1000—0712(2016)01—0001—03 在量 子力 学 中对 称性 与 守恒律 之 间 的一般 关 系 是直 截 了 当的 ，内特 (E．N~ther)早 有 论 述 ．在经 典 力 学 中 有 关 时 空 对 称 性 与 守 恒 律 的 关 系 ，朗 道 (L．D．Landau)在他 有名 的理 论 物 理 系 列 教 材 的 《力 学》卷 ¨ 中 已有精 辟 的论证 ．该 书是 从作 用量 的变分 出发 的 ，根据 惯 性 系时 间平 移 、空 间平 移 和空 间转 动 对称 性 找 出拉格 朗 日量 函 数 的 特 点 ，对 封 闭 系分 别 推演 出能量 、动 量 和角动 量 和三 大 守 恒定 律 ．用 最小 作用 原 理来论 证 不 那 么 直 观 ，本 文 将从 牛 顿力 学 的 通 常表 述形 式来 论证 这一 问题． 宏 观物 体 (包 括 可 用 牛顿 力 学 处 理 的 准宏 观物 体 )之 间 的相 互 作 用 有 弹性 力 、摩 擦 力 、非 理 想气 体 分子 间 的相 互作 用 力 (如 范 德 瓦 尔斯 力 )、凝 聚 态物 体 的 内应力 ，以及 万 有 引 力 等．除 万 有 引 力 外 ，前 面 各项 从 微观 本质 上 看 ，都 不 外 乎是 电 磁相 互 作用 ．在 非相 对 论近 似 的牛 顿力学 中这些 力都 可看 作是 超距 力或 接 触力 ，并 表 现 在 一个 势 函 数 中 (下 文将 引 入一 个包 含 速度 的广 义 势 函 数 ，可 将 摩擦 力 纳入 其 中)．本 文将 中的外 场部 分 u朴视 为系统 所 处 时空 性 质 的表 示 ，在 相 对 理 论 中 ，外 场 反 映 在 时 空 度 规 里．取牛顿近似时，时空平直 ，外场化为势 函数．本文 讨 论 的是 牛顿 力 学 ，外 场 的 势 函数 似 乎应 不 属 于时 空 的性质 ，而时 空总是 平 直 的 ，即具 有所 有平 移 和转 动 的对称 性 ，从 而按 照 内特定 理 ，三大守 恒 定律 都成 立 ，本 文 就没 有什 么 可讨 论 的 了．然 而这 里 讨 论 的是 非封闭系问题 ，所 以才有外场．有外场时能量守恒定 律 的表 现形式 为 ：体系 能量 的增 加 等 于外 力 的功．这 一 陈述通 常称 为 “功能 原理 ”，认 为这 里 能 量是 不 守 恒 的．狭 义 的“守恒 ”是 能量 不 随时 间变 化．要 想 回到 “守 恒”的 狭 义 概 念 ，则 需 把 外 场 算 到 时 空 的 性 质 中 ，使时 空成 为不 均匀 的．这便 是 本文 的作 法． 一 般说来 ，这 个势 函数 不 仅依 赖 于 时 空坐 标 t，，。，， ，… ，还 会 与 质 点 的速 度 z，。， ，… 有关 ．在 非 相对 论 情形下 作 用力 与速 度 有 关 的情 形 有 三 ：一 是 带 电粒 子在磁 场 中受 到 的洛 伦 兹 力 ，二是 在旋 转 参 考 系 中的科里 奥 利力 ，三是 摩擦 力．运 动 电荷 之 间 的 洛伦 兹相 互作 用 力不 是 超 距 的 ，要 通 过 与 电磁 场 交 换 动量来 实 现 ，不 能在 牛顿 力学 中处 理 ，我们 留到本 文下 篇 中讨论 ．不 过带 电粒 子 在 外 电磁 场 中受 力 的 问题 ，可 以在牛顿力学里讨论．旋转参考系可在考察 之列 ．耗散 力 引起 的能 量转 化超 出力 学范 围 ，我们 将 不在 这 里讨论 ． 按 照 Goldstein的 经 典 名 著 《Classical Mechan． ics} 中所 说 的 ，有些 力 与速 度 有关 时 ，系 统 的 总势 函数 要 用一种 广 义 势 函数 来 表 示．第 i个 质 点 受 的力 F 与 的关 系是 F ：一 + f 1 (1) d ， d ＼a ／ 现把 分 为 与速度 无关 部分 和 与速 度 有关 部 分 AU，即 U=U。+AU．对于 在恒外 磁 场 中的带 电粒子 ， AU=一∑ q A· =∑ (rl× )· (2) 收 稿 日期 ：2015—10—09 作者简介 ：赵凯华 (1930一 )，男 ，浙 江杭 州人 ，北京 大学 物理 学 院教授 ，2008年获 教育 部物 理基 础教 学指 导委 员 会和 中 国物理 学会 教学 委员会颁发的“物理教学杰出成就奖”．