2 大学物理 第35卷 对于在旋转参考系中的粒子， 兹力和科里奥利力与速度垂直而不作功，对能量守 a0=-∑m,(×w） (3) 恒没有影响.) U。包含外场势和质点间的相互作用势，不仅通常的 2 动量守恒定律 两体作用势，还有各种可能的多体作用势.如果时间 将式(4)移项后再对i求和 均匀，U与t无关；如果空间均匀，则系统等时地整 体平移而各质点的速度不变，函数U不变；如果空 (9) 间对于某点各向同性，则系统等时地整体（包括各 设想所有质点作任何同一位移8l,将上式点乘以81， 质点的速度)绕该点旋转任一角度，函数U不变 dv. ,8l(10) 设质点i的速度为”，其加速度由相互作用 另外，整个质点系统平移8！时引起U的变化为 dvav d av 力F,产生F=midt=ar,dtav,. (4) 8u (11) 1能量守恒定律 而 8r=8l, 80=0 a 故 U.6l dr ar. 将式(4)乘以=，对所有质点求和 式(10)化为 )(5) dv, dr_ 8l=-8U (12) 式(5)左端：行Σm可 如果空间均匀，则8U=0,于是 是整个质点系统总动能的变化率势函数U的时间门门 变化率为 由于δ是任意的，故有 lrd+m (13) d/au aU 如果我们把 (14) dta八 a p.=m gu 定义为质点i的广义动量，则式(13)可写成 式(5)右端=口0 1 ,=0 (15) 式(5)化为 x成0-Σ驰。 aU 这就是质点系统的动量守恒定律，对于对磁场中的 (6) at 带电粒子，P,=m:0+q:A,这就是在磁场中的哈密顿 正则动量.只有磁场B均匀时，△U才具有空间均匀 在具有时间均匀的条件下，0 =0,式(6)化为 性，这时系统的总正则动量守恒.对于在旋转参考系 粉2减+-韶 中的质点，由于存在离心势，空间明显不均匀，动量 (7) 不可能守恒。 如果我们把U'=U-∑记、 ·v:定义为系统的势能， 3角动量守恒定律 现在要考虑的是空间各向同性但不一定具有平 将式(7)写成 1=0 (8) 移不变性的情形，假设空间对于某个不动点O各向 这就是机械能守恒定律，对于有外磁场或在旋转参 同性.我们取0为坐标原点，所有矢径都是从这里出 考系的情形，从式(2)或式(3)可以看出，∑·”， 发的，所有角动量也是相对这点而言的.空间绕某个 不动点的任何微转动，都可看作围绕某一瞬时轴的 =△U,即U'=U-△U=U。,它就是通常不依赖于速度 转动.（在理论力学教科书中，讨论刚体绕固定点转 的势能，其中包括静电势能或离心势能.（由于洛伦 动时都证明了这一结论.)用矢量δ2来表示这个角2 大 学 物 理 第 35卷 对 于在 旋转 参考 系 中的粒子 ， AU=一∑ m (，． ×∞)‘口 (3) U。包含 外 场势和 质点 间的 相互 作用 势 ，不仅 通 常 的 两体作用势 ，还有各种可能的多体作用势．如果时间 均匀 ，U与 t无 关 ；如果 空 间均 匀 ，则 系统 等 时地 整 体平 移而各 质 点 的 速 度 不 变 ，函数 U不 变 ；如 果 空 间对 于某点 各 向 同性 ，则 系 统 等 时地 整 体 (包 括 各 质点 的速度 )绕该 点旋 转任一 角度 ，函数 U不变． 设 质点 的速度 为 ，其 加 速度 由相 互作 用 d ． 力F 产生 垫=一 + dt Fi-~mi d f~ Ovi 力F 产生 一 十二』 ) (4) t ) (4) 1 能量守恒定律 dr 将式 (4)乘 以 ，对所 有质 点求 和 m dvi 一 = 一 [ OU__d＼[ oU (5) 式(5)左端= d I 1 m 2) 是整个 质点 系统 总动 能 的变 化率 ．势 函数 U的 时 间 变化 率为 ： f 塑 + 1+ ： dt 【Or dt Ovi dt J Ot [ 一 + ( ‘v1)一 dtf~, c3vi) 】+ 式(5)右端=一 d( 一 OU· )+ 式 (5)化 为 (丢 m + 一 OU‘ )= OU(6) 在 具有 时间均 匀 的条 件下 ， OU：0，式 (6)化 为 ÷ 一 ㈩ 如果我们 把 u，_u一 OU 。 定 义为 系统 的势能 ， 将式(7)写成 (丢 m +u )=。 (8) 这 就是 机械 能守 恒 定 律．对 于 有 外 磁 场 或在 旋 转 参 考系的情形，从式(2)或式(3)可以看出，∑ oU．z， =AU，即 U U-AU=U。，它就 是通 常 不 依赖 于 速 度 的势 能 ．其 中包 括 静 电势 能 或 离心 势 能．(由于 洛伦 兹力 和科里 奥利 力 与速 度 垂 直 而不 作 功 ，对 能量 守 恒没有 影 响．) 2 动 量 守恒 定 律 将 式 (4)移项后 再对 i求 和 一 = 一 设想 所有质点作任何 同一位移 8z，将上式点乘 以 8z， d 一 = 一 另外 ，整 个质 点 系统平移 8z时引起 U的变 化 为 8 = 6r + … 而 6， =8Z， 8 =0 故 8u： —OU． 8z ,-y dri 式 (10)化为 m 一 u 如果 空间均 匀 ，则 8 =0，于是 m = 。 由于 8z是 任意 的 ，故有 [∑( 一 =。 c 13 女口果 我f『]把 p z，7z 一_OU (14) 定 义为质 点 i的广义 动量 ，则式 (13)可 写成 { P =0 (15) d￡ 。 、 这就 是质 点系 统 的 动 量 守 恒定 律 ．对 于对 磁 场 中的 带 电粒子 ，P =m +giA，这 就是 在 磁场 中的 哈密 顿 正 则动量 ．只有 磁 场 均 匀 时 ，△ 才 具 有 空 间均 匀 性 ，这时 系统 的总 正则动量 守 恒．对 于在旋 转 参考 系 中的质 点 ，由于存 在 离 心势 ，空 间 明显 不均 匀 ，动量 不 可能守 恒． 3 角动量守恒定律 现 在要 考虑 的是空 间各 向 同性 但不 一定 具有平 移不变 性 的情形 ，假设 空 间对 于某 个 不 动点 0各 向 同性．我们取 0为 坐标原 点 ，所 有矢 径都是 从这 里 出 发 的 ，所有 角动量 也是 相对 这 点而 言 的．空 间绕 某个 不动 点的任 何微 转 动 ，都 可看 作 围绕某 一 瞬 时 轴 的 转动 ．(在 理论 力学 教 科 书 中 ，讨 论 刚体 绕 固定 点 转 动 时都证 明 了这 一结 论．)用矢 量 6 来 表示 这 个 角