[注]detA≠0时,亦称A为非奇异矩阵; det=0时,亦称A为奇异矩阵 推论1对于A1m,若有B满足AB=E,则A可逆,且A1=B 证AB=E→ deta detB=1→det4≠0→A可逆 A=AE=A(AB)=(AA)B=EB= 推论2对于A,若有B满足BA=E,则A可逆,且A-=B 算律: (1)A可逆→A可逆,且(A-)-=A 对于A,取B=A,有AB=A-1A=E (2)A可逆,k≠0→kA可逆,且(kA)不 对于kA,取B=A-,有( A)B=(kA(A=AA=E (3)A与Bmn都可逆→AB可逆,且(AB)-=B-A 对于AB,取C=BA-,有 (ABC=(AB)(B A=A(BB)A=E (4)A可逆→A可逆,且(A)=(A2) 对于A,取B=(A),有AB=A(A-2)2=(A-A)=E (5)A可逆→de deta (6)A与Bn都可逆→(AB)=B'A' 证(AB)=|de(AB)(AB)-=ldet4)(detB川B-A- (detb)b(deta)A=B A 负幂:A可逆,定义A°=E,A-=(A-4)(k=1,2,…),则有8 [注] detA  0 时, 亦称 A 为非奇异矩阵； detA = 0 时, 亦称 A 为奇异矩阵． 推论 1 对于 Ann , 若有 Bnn 满足 AB = E , 则 A 可逆, 且 A = B −1 ． 证 AB = E  detAdetB = 1  detA  0  A 可逆 A = A E = A AB = A A B = EB = B − − − − ( ) ( ) 1 1 1 1 推论 2 对于 Ann , 若有 Bnn 满足 BA = E , 则 A 可逆, 且 A = B −1 ． 算律： (1) A 可逆  −1 A 可逆, 且 A = A −1 −1 ( ) ． 对于 −1 A , 取 B = A, 有 A B = A A = E −1 −1 ． (2) A 可逆, k  0  kA 可逆, 且 1 1 1 ( ) − − = A k kA ． 对于 kA, 取 1 −1 = A k B , 有 A AA E k kA B = kA = = −1 −1 ) 1 ( ) ( )( ． (3) Ann 与 Bnn 都可逆  AB 可逆, 且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A ． 对于 AB, 取 −1 −1 C = B A , 有 AB C = AB B A = A BB A = E −1 −1 −1 −1 ( ) ( )( ) ( ) ． (4) A 可逆 T  A 可逆, 且 T 1 1 T ( ) ( ) − − A = A ． 对于 T A , 取 1 T ( ) − B = A , 有 A B = A A = A A = E T T −1 T −1 T ( ) ( ) ． (5) A 可逆 A A det 1 det 1  = − ． (6) Ann 与 Bnn 都可逆 * * *  (AB) = B A ． 证 ( ) [det( )]( ) [(det )(det )][ ] * −1 −1 −1 AB = AB AB = A B B A [(det ) ] −1 = B B [(det ) ] −1 A A * * = B A 负幂： A 可逆, 定义 A = E 0 , ( ) ( 1,2, ) A −k = A −1 k k =  , 则有