1.判别下列映射哪些是线性的(并指出它们是从哪个空间到哪个 空间的 线性映射,哪些不是线性的 (1)a(x,x2x3)=(x1+x2x1-x3,x2),V(x1,x2,x3)∈R; )=(x1-x2,x,x1+x2),V(x1,x2)∈ (3)σ(x,x2)=(x2,x1+x2),V(x,x2)∈R2 (4)∞()=25+5,Ve(线性空间),o是V中的一个固定向量 (5)o(p(x)=p(x+1)-p(x),Vp(x)ER[l: (6)a(p(x)=p(a),p(x)∈Fx,a是一个常数 解:(5)是线性变换 Vp(x)P2(x)∈R[xn,Vk1,k2∈R (kP1(x)+k2P2(x)=(k1P1+k2P2)(x+1)-(k1P1+k2P2)(x) k1(P1(x+1)-P2(x))+k2(P2(x+1)-P2(x) k,o(p,(x))+k,o(p, (x)) (6是线性变换 VP(x),P2(x)∈Rx],k1,k2∈R o(k,P,(x)+k2p(x)=k,,(a)+ k2p2(a) k,a(P,(x))+k,o(p2(x) 2.求R2的线性变换σ,使得正方形ABCD(其中A(1,0),B(0,1) C(-1,0),D(O,-1)变换为下列四边形ABCD(如下图所示) B (1) (1)是旋转90度,o(1,0)=(0,1),o(0,1)=(-1,0) o(xeI+y e2F xe2+y(e1), o(x, yF(-y, x) (2)在(1)中ox方向放大2,(x,y)=(-2y,x) (3)在(1)中ox方向正负对换,σ(x,y)=(y,x) (4)在(1)中y坐标不变,沿ox负方向错切1, (0,-1)=(-1,-1),o(x,y)=( 3.设R3的一个二维子空间W为: W={2|(2,0)=0,5∈R} 其中o是一个固定单位向量,(2)表示ξ与o的内积1. 判别下列映射哪些是线性的(并指出它们是从哪个空间到哪个 空间的 线性映射), 哪些不是线性的： (1) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 − x3 , x2 ),  (x1 , x2 , x3 )R 3 ； (2) (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 , x1 + x2 ),  (x1 , x2 )R 2 ； (3) （ ， ） 1 2 1 2 2 ； 2 1 2 1  x x = (x , x + x ),  (x , x )R (4) ( ) = 2 + 0 ,  V (线性空间),0 是 V 中的一个固定向量； (5) n ( p(x)) = p(x +1) − p(x),  p(x)R[x] ； (6) (p(x)) = p(a) ,  p(x)R[x],a 是一个常数. 解：（5）是线性变换 ( ( )) ( ( )) ( ( 1) ( )) ( ( 1) ( )) ( ( ) ( )) ( )( 1) ( )( ) ( ), ( ) [ ] , , 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 k p x k p x k p x p x k p x p x k p x k p x k p k p x k p k p x p x p x R x n k k R    = + = + − + + − + = + + − +     (6)是线性变换 ( ( )) ( ( )). ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ), ( ) [ ], , . 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 k p x k p x k p x k p x k p a k p a p x p x R x k k R    = + + = +    2. 求 R2 的线性变换, 使得正方形 ABCD(其中 A(1,0), B(0,1), C(−1,0), D(0, −1))变换为下列四边形 A'B'C'D' (如下图所示). (1) (2) (3) (4) (1) 是旋转 90 度，(1,0)=(0,1); (0,1)=(-1,0), (xe1+y e2)= xe2+y(- e1), (x, y)=(-y, x) (2) 在（1）中 ox 方向放大 2，(x, y)=(-2y, x) (3) 在（1）中 ox 方向正负对换，(x, y)=(y, x) (4) 在（1）中 y 坐标不变，沿 ox 负方向错切 1， (0, -1)=(-1, -1)，(x, y)=(x-y, x)。 3. 设 R3 的一个二维子空间 W 为： { |( , ) 0, }, 3 W =    =  R 其中是一个固定单位向量, (,)表示与的内积. C A B D C’ A’ B’ D’ A’ B’ D’ C’ A’ D’ B’ C’ A’ C’ B’ D’