(1)求R3到W上的投影变换p,并证明p2=p (2)求R3关于镜面W(W是过原点的一个平面)的镜象变换q。 解:(1)取R3的基{o,5,2},其中单位向量1,22∈W且21⊥2 p(o,12)=(0,512)p(O,251,2)=p(0,512)=(0,5152) 所以p2=p。va=c+c251+c32, d(a)=c251+c352=a-c10=a-(a,O)O (2)列a.,5)=(=0,5,ba=C+e5+65: q(a)=-cO+c21+c32=a-2cO=a-2(a,0)O 法2作图分析 4.设a1,a2}是线性空间W(F)的一组基,xa1+x2a2∈V,定义 T(x,a+x,a2)=rr,a,+r2x2a2 其中r,n是域F中的两个常数量.证明:T是T上的一个线性变换, V(F)=R2时,说明线性变换T的几何意义 5.求下列线性变换σ的象(值域)和核以及σ的秩: (1)a(x1,x2x3)=(x1+x2+x3-x1-2x3,x2-x3) (2)a(x1,x2)=(x2,x1,x2-x1) (3)σ(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,x2+x3,x3 (4)σ是n维线性空间V的零变换 (5)σ是n维线性空间V的恒等变换; (6)a:R"→Rn,且 xn)=(x10,…,0) 解: (x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,-x1-2x3,x2-x3) =(x1(1,-1,0)+x2(10,1)+x(1-2,-1) ()=L(1-1,0),(1,01)(1,-2.-1) 因为(1,-2.-1)=2(1,-1,0)-(0.1),秩(a)=2 ()=L(1,-1,0),(10,1) Ker(o)=ao(a)=0) 解x1+x2+x3=0,-x1 0, 方程组解为(-2,1),解空间S=L{(-2,11)}=Ker(a) 解(4)α,σ(αx)=0,所以σ(V)={0};秩(σ)=0,Ker(σ)=V 解(5)va,o(a)=α,所以σ(V)V,秩(σ)=n;Ker(o)={0}; 6.求R3的一个线性变换σ,使得σ的象(值域)为a(R)=L(a,a2), 其中a1=(10.-1),a2=(122) 解,叫(x1,x)=(x(10.-1)+x1(122)=(x+x2x,一x+2x) ()=L(o(E1)o(E2)2o(E3)=L(10.-1),(1,2,2)(1) 求 R3 到 W 上的投影变换 p，并证明 p 2=p； (2) 求 R3 关于镜面 W (W 是过原点的一个平面)的镜象变换 。 解：（1）取 R3 的基{，1, 2}, 其中单位向量1, 2W 且1⊥ 2 ( ) ( , ) . , ( , , ) (0, , ), ( , , ) (0, , ) (0, , ), 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2                           = + = − = − =  = + + = = = c c c p p c c c p p p 所以 。 （2）                       ( ) 2 2( , ) ( , , ) ( , , ), , 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 2 = − + + = − = − = −  = + + c c c c c c c 法 2 作图分析 4．设 { , } 1 2 是线性空间 V(F)的一组基, , x11 + x22 V 定义 ( ) , 11 22 1 11 2 22 T x + x = r x + r x 其中 r1, r2 是域 F 中的两个常数量. 证明：T 是 V 上的一个线性变换, 当 V(F)=R2 时, 说明线性变换 T 的几何意义. 5. 求下列线性变换的象(值域)和核以及的秩： (1) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 ,−x1 − 2x3 , x2 − x3 )； (2) (x1 , x2 ) = (x2 , x1 , x2 − x1 )； (3) (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x2 + x3 , x3 )； (4) 是 n 维线性空间 V 的零变换； (5) 是 n 维线性空间 V 的恒等变换； (6) , n n ：R → R 且 ( , , , ) ( ,0, ,0).  x1 x2  xn = x1  解： ( 2,1,1) {( 2,1,1)} ( ) 0, 2 0, 0 ( ) { ( ) 0}, ( ) ((1, 1,0),(1,0,1), (1, 2. 1) 2(1, 1,0) (1,0,1), 2; ( ) ((1, 1,0),(1,0,1),(1, 2. 1)) ( (1, 1,0) (1,0,1) (1, 2, 1)) ( , , ) ( , 2 , ) 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3          S L Ker x x x x x x x Ker V L V L x x x x x x x x x x x x x − = − = + + = − − = − = = = = − − − = − − = = − − − = − + + − − = + + − − − 方程组解为 ，解空间 解 因为 秩（ ） 解（4），()=0,所以(V)={0}; 秩()=0; Ker()=V; 解（5），()=,所以(V)= V; 秩()=n; Ker()={0}; 6. 求 R3 的一个线性变换, 使得的象(值域)为 ( ) ( , ) 1 2 3  R = L   , 其中 (1,0, 1), (1,2,2). 1 = − 2 = 解： ( ) ( ( ), ( ), ( )) ((1,0, 1),(1,2,2)) ( , , ) ( (1,0, 1) (1,2,2)) ( , 2 , 2 ) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 = = − = − + = + − + V L L x x x x x x x x x x             ()