7.已知R2的线性变换a(x1x2)=(x1-x2x+x2) (1)求 (x1,x2)=? (2)σ是否可逆?如可逆,求a(x1,x2)=? 解: a2(x1,x2)=(x1-x2,x+x2)=(x1-x2-(x1+x2)x1-x2+x1+x2) 1) (x,x2)=r(x1-x2,x1+x2)=(x1,x2) x +xx 8.已知R2的线性变换a(x1,x2)=(x1-x2,x2-x1) (1)求σ的秩和kera (2)求r∈L(R2,R2),使v=0(零变换) (x1,x2)=(x1-x2,x2-x1)=(x(1,-1),x2(-1,1) o()=L{(1-1)},秩(a)=1, 解 由x-x2=0,x2-x1=0,得解(,1) Ke(a)=L{(1)}; z(x1,x2)=r(x1-x2,x2-x1)=(0,0) r(x1,x2)=(x1+x2,x2+x1) 已知R3的两个线性变换 G,t为: (x1,x2,x3)=(x30,0) r(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3x1-x2O) (1)求秩(G),秩(),Imσ,kero;(2)求秩(τ),秩(τσ) (3)求秩(σ+τ) (4)求Imt+kert 解:(2) r(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3,x1-x20)=(0.00) 秩(z)=0; rG(x1,x2,x3)=r(x3,0,0)=(x3,x3,0),to≠B ro(V)=o(x12x2,x3)L{(1,10)},秩(o)=l 法2由0≠O,知:1≤秩(o)smin{秩(x),秩(G)}=1 所以秩(o)=l; 解(3)(a+)x2x2,x3) 2+2x3,x1-x2,0) 1(1,1,0)+x2(1,-1,0)+x2(2,00) 秩(a+r)=秩{(10,(1,-1,0,(2,0,0)}=2 解(4):由秩(x)+ dim(ker t)=3,Imr+kerr)=R 10.已知a1=(1-1)a2=(2-l)a3=(-32) B1=(1,0),B2=(0,1),B3=(11) 问:是否存在σ∈L(R2,R2.,使得o(a)=B,1=12,3 解:否。若存在,则由a1+a2+a3=0,得B+B2+B3=0,矛盾 11.设G∈L(R",R),B={a1,a2…;an}是R的基,当m<n时 o(ax)o(a2)…,o(an)是否线性无关?为什么?7. 已知 R2 的线性变换 ( , ) ( , ). 1 2 1 2 1 2  x x = x − x x + x (1) 求 ( , ) ? 1 2 2  x x = (2) 是否可逆？如可逆, 求 ( , ) ? 1 2 1 = −  x x 解： 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ) 2 , 2 ( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ); ( 2 , 2 ). ( , ) ( , ) ( ( ), ) − = + − = = − + = = − = − + = − − + − + +       x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知 R2 的线性变换 ( , ) ( , ), 1 2 1 2 2 1  x x = x − x x − x (1) 求的秩和 ker ； (2) 求 ( , ), 2 2  L R R 使  = (零变换). 解： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (0,0) ( ) {(1,1)}; 0, 0, (1,1), ( ) {(1, 1)}, ( ) 1, ( , ) ( , ) ( (1, 1), ( 1,1)), 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x Ker L x x x x V L x x x x x x x x = + + = − − = = − = − = = − = = − − = − −        由 得解 秩 9. 已知 R3 的两个线性变换,为： ( , , ) ( ,0,0), 1 2 3 3  x x x = x ( , , ) ( , ,0). 1 2 3 1 2 3 1 2  x x x = x + x + x x − x (1) 求秩(), 秩(), Im , ker ； (2) 求秩()，秩()； (3) 求秩(+)； (4) 求 Im  + ker  解：（2） 4 ( ) dim(ker ) 3, Im (ker ) . ( ) {(1,1,0) (1, 1,0) (2,0,0)} 2 ( (1,1,0) (1, 1,0) (2,0,0)), (3) ( )( , , ) ( 2 , ,0) ( ) 1 2 1 ( ) min{ ( , ( )} 1, ( ) ( , , ) {(1,1,0)}, ( ) 1 ( , , ) ( ,0,0) ( , ,0), 0 ( , , ) ( , ,0) (0.0.0). 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 R x x x x x x x x x x x V x x x L x x x x x x x x x x x x x x + = + = + = − = = + − + + = + + − =    = = = = =  = = + + − =                         解（ ）：由秩 秩 秩 ， ， ； 解 ： 所以秩 ； 法 由 ，知： 秩 秩 ）秩 秩 ； ， 秩（ ） ； 10. 已知 1 = (1,−1),2 = (2,−1),3 = (−3,2)； (1,0), (0,1), (1,1). 1 =  2 = 3 = 问：是否存在 ( , ), 2 2  L R R 使得 ( ) = ,i =1,2,3.  i i 解： 否。若存在，则由1 +2 +3 = 0，得1 +  2 + 3 = 0，矛盾 11. 设 ( , ), { , , , } 1 2 n n m  L R R B =     是 Rn 的基, 当 m<n 时, { ( ), ( ), , ( )}  1  2   n 是否线性无关？为什么？