则9(A)及M(A)分别为HK及KH的线性子空间.我们分 别称它们为A的图象和逆图象.若A可逆,则w(4)=9A-2) 设A1,A2∈L(H,K),若9(A1)c9(A2),即D(A1)cD(A2)且 限制在D(41)上A2与A1一致,则称A2是A1的延拓,称A1是 A2在D(A1)上的限制,记为A1CA2或A2A1 设A∈L(H,五).如果9(A)是HK的闭子空间(即w(A) 是K⊕H的闭子空间)则称A为闭算子.若9(A)在HK中 的团包g(A)是某个线性算子A的图象,则称A是可闭的,并称 A是A的闭包.显然,A是可闭的当且仅当{0,y}∈9(A)蕴含 y=0.若A是闭算子,且D(A)=H,则由闭图象定理知A是有 界算子.闭算子的零空间为闭子空间 设A∈L(H,K)为稠定的,令 D(A")={y∈K:cy>0,使得Vz∈D(A),(Ax,y)≤cl|l} 则由 Riesz表现定理,vy∈D(A),存在H中唯一元素,记为A·"y 使得 (, A'y)=(Am,y) VeE D(A). 显然有A·∈D(K,H),我们称A为A的共轭算子.若A,B∈ L(H,K)为稠定的,且ACB,则B*CA 设A∈U(H).如果A稠定且ACA°,即 (Ar,y =(a, Ay) Ve,yE D(A) 则称A是对称的;若进一步有A=A*,则称A是自共轭的 引理11设A∈L(H)为稠定算子,且(Ax,2)=0,V∈D(4) (1)若H为复空间,则A为零算子(即Ax=0,YaED(A); (2)若H为实空间,且A为对称算子,则A为零算子 证明(1)设x,∈D(A),则 (Aa,y)+(Ay,x)=(A(m+y),x+y)-(Ax,)-(Ay,y)=0.(1,4)