当n>maxM,N2)时,有x、a+b 2~yn,矛盾 定理5(两边夹或逼夹定理)给定序列{xn},{yn}和{n},满足vn,xn≤zn≤y 且mxn=a=myn,则imzn=a 证E>0,由imxn=a,彐N1,使得当n>N1时,有 xn-d<6,即a-E<x,<a+E, 又由lmyn=a,彐N2,使得当n>N2时,有 E<yn<a+E。 取N=m(N1,N2),则当n>N时,有a-E<xn=n≤yn<a+E或|n-d<E 即limz.=a 例1lma=1(a>1) 在证明中,令h,=a-1>0,a=(1+h,)”,得0<h<,由此推出hn→0。 由此例也看出由xn<n<y和lmxn=a=lmyn,也推出im=n=a。 定义极限为0的变量称为无穷小量。 推论 1)xn→0kxl→0,无穷小量加绝对值仍为无穷小量 2)xn→0,pyl≤M→xnyn→0,无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 3)xn→a分yn=xn-a→0,(xn=a+y)变量有极限a的充要条件为它 可分解为a加一个无穷小量。 4n2+6n+1 例2求极限lim n3n2+n+9 解 如4n2+6n+1=m3 _4 3n2+n+9 3+1+93 例3求极限m(1+a+A+a")(0<a<1) 解lm(1+a+A+d")=m1-a"125 当 max( , ) n > N1 N2 时，有 n n y a b x > + > 2 ， 矛盾。 定理 5（两边夹或逼夹定理）给定序列{ }, { } n n x y 和{ }n z ，满足" n ， n n n x £ z £ y 且 n n n n x a y ®¥ ®¥ lim = = lim ，则 z a n n = ®¥ lim 。 证 " e > 0 ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1时，有 x - a < e n ， 即 a - e < x < a + e n ， 又由 y a n n = ®¥ lim ， $ N2 ，使得当n > N2时，有 y - a < e n ， 即 a - e < y < a + e n 。 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当 n > N 时，有 a - e < x £ z £ y < a + e n n n 或 z - a < e n 即 z a n n = ®¥ lim 。 例 1 lim = 1 ( > 1) ®¥ a a n n 在证明中, 令 = -1> 0 n hn a ， n n a = (1+ h ) ，得 n a h 0 < n < ，由此推出hn ® 0。 由此例也看出由 n n n x < z < y 和 n n n n x a y ®¥ ®¥ lim = = lim , 也推出 z a n n = ®¥ lim 。 定义 极限为0 的变量称为无穷小量。 推论 1） xn ® 0 Û xn ® 0，无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 2） xn ® 0, yn £ M Þ xn × yn ® 0 ，无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 3） xn ® a Û yn = xn - a ® 0，( ) n n x = a + y 变量有极限a 的充要条件为它 可分解为a 加一个无穷小量。 例 2 求极限 3 9 4 6 1 lim 2 2 + + + + ®¥ n n n n n 解 3 4 3 4 lim 3 9 4 6 1 lim 2 2 1 9 6 1 2 2 = + + + + = + + + + ®¥ ®¥ n n n n n n n n n n 。 例 3 求极限 lim (1+ + + ) (0 < <1) ®¥ a a a n n L 。 解 a a a a a n n n n - = - - + + + = ®¥ ®¥ 1 1 1 1 lim (1 L ) lim