由myn=b,令E0=>0,N1,使当n>N时,有n-b<Eo,即 p2-p-b≥-5=2 E>0,由圆=b,三N,使得当刀>N2时,和m-外6 2 取N=max(N1,N2),则当n>N时,有 即lm 用归纳法,可得有限个序列的四则运算 lim x m∏=m 但将上述N换成O,一般不成立。事实上∑或∏本身也是一种极限,两种极限交换次 序是个非常敏感的话题,是高等分析中心课题,一般都不能交换,在一定条件下才能交换, 具体什么条件,到第三册我们会系统研究这个问题 下面定理表明求极限是保序的运算。 定理4给定两个序列{xn},{yn},若Ⅴn,xn≤yn且lxn=a,lmyn=b, n→① 则a≤b 证反证法,如若不然,a>b,取s。o a-b ,由lmxn=a,彐N1,使得当n>N 时,有 -a<a xn7-Eos a+ 又由lmyn=b,彐N2,使得当n>N2时,有 lyn-b<Eo, 6+24 由 y b n n = ®¥ lim ，令 0 1 0 , 2 N b e = > $ ，使当n > N1时，有 0 y - b < e n ，即 2 0 b y b y b b n ³ - n - ³ - e = 。 " e > 0 , 由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ，使得当n > N2时，有 e 2 2 b yn - b < 。 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当n > N 时，有 e 2 2 2 1 1 2 b b b n y b n y b n y £ × × - - = ， 即 y b n n 1 1 lim = ®¥ 。 用归纳法，可得有限个序列的四则运算： å å= ®¥ = ®¥ = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim ， Õ Õ= ®¥ = ®¥ = N k k n n N k k n n x x 1 ( ) 1 ( ) lim lim 。 但将上述 N 换成¥ ，一般不成立。事实上å ¥ k=1 或Õ ¥ k=1 本身也是一种极限，两种极限交换次 序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换， 具体什么条件，到第三册我们会系统研究这个问题。 下面定理表明求极限是保序的运算。 定理 4 给定两个序列{ }n x ，{ }n y ，若" n ， n n x £ y 且 x a n n = ®¥ lim ， y b n n = ®¥ lim ， 则a £ b 。 证 反证法，如若不然，a > b ，取 2 0 a - b e = ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1 时，有 0 x - a < e n ， 2 0 a b x a n + > - e = 又由 y b n n = ®¥ lim ， $ N2 ，使得当n > N2时，有 0 y - b < e n ， 2 0 a b y b n + < + e =