3)若b≠0,yn≠0,则m()=1 b 证:1)>0,由x,=a,3N,使得当n>N时,有,<2。又由 lmyn=b,3N2,使得当n>N2时,有。-b<5。取N=ma(N,N2),则当n>N (xn±y)-±b (a,b) Lm-a+y,-bI (a,) 即im(xn±yn)=a±b。 n→, 2)分析 I, y,-ab=,.yn-yn a+ ym.a-a.b pyxn-a+叫yn-b 加一项,减一项称为插项方法,是一个至关重要的方法 由有界性定理,彐M1>0,n,川≤M1。令M=maN(M1,|)>0,VE>0 由lmxn=a,N,使得当n>M时,有,-l<。又由lyn=b,彐N2, 使当n>N2时,有yn-b< E 取N=max(N1,N2),则当n>N时,有 2M Lxmyn-a.bsbymlxm-a+albym-bl (rn -al+vm-bp) ≤M( 2M 即im(xnyn)=a·b。 3)由2),只要证m11 y,b 分析 ly,-b. vn 当n充分大时。23 3）若 b ¹ 0, yn ¹ 0，则 b a y x n n n = ®¥ lim ( ) 。 证：1）"e > 0 ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1时，有 2 e xn - a < 。又由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ，使得当n > N2时，有 2 e yn - b < 。 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当n > N 时，有 e 。 e e £ + = £ - + - ± - ± 2 2 ( ) x a y b x y a b n n n n 即 x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 。 2） 分析 y x a a y b x y a b x y y a y a a b n n n n n n n n n £ - + - × - × = × - × + × - × 加一项，减一项称为插项方法，是一个至关重要的方法。 由有界性定理，$ M1 > 0 ，" n ， M1 yn £ 。令 M = max( M1 , a ) > 0 ， " e > 0 ， 由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1 ，使得当n > N1时，有 M x a n 2 e - < 。又由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ， 使当n > N2时，有 M y b n 2 e - < 。取 max( , ) N = N1 N2 ，则当n > N 时，有 xn × yn - a×b £ yn xn - a + a yn -b ) . 2 2 ( ( ) e e e £ + = £ - + - M M M M x a y b n n 即 x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) 。 3） 由 2），只要证 y b n n 1 1 lim = ®¥ 。 分析 y b y b b y b y b n n n n £ - - - = 2 1 1 2 , 2 b yn ³ 当n 充分大时。 (a,b) (a,y n (x ) n ,y n )