象四则运算一样,我们把求极限也看成是一种运算,但这种运算是施加在无穷序列上, 取值是一个实数,如果存在的话,但还有大量不存在极限的序列 定理1(唯一性)若序列的极限存在,则极限值唯 (a+b)2 b 证反证法,如果不然,至少有两个不等的极限值,设为a和b,a<b,lmxn=a b lmx.=b,取Eo=2 >0,由极限定义,彐N1,使得当n>N1时,有 +b x <a+E 又彐N2,使得当n>N2时,有 a+b <E0 b 则当n>ma(N1,N2)时,有 a+b <x 矛盾! 定义若彐M>0,使得x|≤M,Vn,则称{xn}有界。 定理2(有界性)若序列{xn}有极限,则{xn}有界。 证设lnxn=a,取Eo=1,按定义,彐N,使得当n>N时,有 Ix-a< xn≤|d+xn-dl<d+1。 令M=mal+1|xA,x),则对vn∈N,有x≤M,故{xn}有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理3(四则运算)设lmxn=a,lmyn=b,则 1)m(xn±yn)=a±b =a22 象四则运算一样，我们把求极限也看成是一种运算，但这种运算是施加在无穷序列上， 取值是一个实数，如果存在的话，但还有大量不存在极限的序列。 定理 1（唯一性）若序列的极限存在，则极限值唯一。 证 反证法，如果不然，至少有两个不等的极限值，设为a 和b ，a < b， x a n n = ®¥ lim ， x b n n = ®¥ lim ，取 0 2 0 > - = b a e ，由极限定义，$ N1，使得当n > N1时， 有 0 x - a < e n ， 2 0 a b x a n + < + e = 又$ N2 ，使得当 n > N2时，有 则当 max( , ) n > N1 N2 时，有 n n x a b x < + < 2 矛盾！ 定义 若 $ M > 0，使得 xn £ M ，" n ，则称 { }n x 有界。 定理 2（有界性）若序列{ }n x 有极限，则{ }n x 有界。 证 设 x a n n = ®¥ lim ，取 e0 =1，按定义，$ N ，使得当n > N 时，有 x - a < e n ， xn £ a + xn - a < a +1 。 令 max( 1, , , ) 1 N M = a + x L x ，则对" n Î N ，有 xn £ M ，故{ }n x 有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理 3（四则运算） 设 x a n n = ®¥ lim ， y b n n = ®¥ lim ，则 1） x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 2） x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) n n b x a b x b = - < + - < 0 0 2 e , e ( ) ( ) b a (a+b)/2 x n