证VE>0,不妨设E<1,要使|"-0=q<E,只要nq<图E(注意这 里q<0,gE<0),只要n、gE,面N2里,则当n>N时,就有 Ig q lg q 例2求证lmna=1(a>0) 证法1先设a>1,VvE>0,要使|-1=4-1<E,只要4<1+6 只要Q<(1+2,只要n>11 取N= 1+6)/,当n>N时,就有阳a-E,即ma=1。对 0<a<1,令b=1,则mG a n-o lim√b n→) 证法2令a-1=hn,则a=(1+bn)=1+mhn+A+h>mhn,0<hn< va>0,要使=b,具要2=,取N-2]只要2,或有 <E,即l 例3证lin 0(a>1) 证因为 a=2.g.A.a..-A.<.a=c.(c= nI 12[a][a]+1 E>0,要使,-0 <E,只要一<E,取N 则只要n>N,就 n! 有-0<E,即lim 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式,关键的追求有两点,一是 把隐性表达式变成显性表达式,在重锁迷雾中看清庐山真面目,二是抓住主要矛盾,舍去次 要矛盾:要取舍合理,不能放大得过份。 §2.2序列极限的性质和运算21 证 "e > 0 , 不妨设e < 1，要使 - = < e n n q 0 q ，只要 n lg q < lg e （注意这 里 lg q < 0 , lg e < 0 ），只要 q n lg lg e > 。 取 ú û ù ê ë é = q N lg lg e ，则当 n > N 时，就有 - 0 < e n q ， 即 lim = 0 ®¥ n n q 。 例 2 求证lim = 1 ( > 0) ®¥ a a n n 。 证法 1 先设a >1，"e > 0 ，要使 - 1 = -1 < e n n a a ， 只要 < 1+ e n a ， 只要 lg lg (1 ) 1 a < + e n ，只要 lg(1 ) lg + e > a n 。 取 úû ù êë é + = lg(1 ) lg e a N ， 当 n > N 时，就有 - 1 < e n a ，即 lim = 1 ®¥ n n a 。对 0 < a <1，令 a b 1 = ，则 1 lim 1 lim = = ®¥ ®¥ n n n n b a 。 证法 2 令 n n a -1 = h ，则 n n n n n n a = (1+ h ) = 1+ nh +L + h > nh ， n a h 0 < n < " e > 0 , 要使 - = < e n n a 1 h , 只要 < e n a ，取 ú û ù ê ë é = e a N ，只 要 n > N ，就有 - 1 < e n a ，即lim = 1 ®¥ n n a 。 例 3 证 0 ( 1) ! lim = > ®¥ a n a n n 。 证 因 为 ) [ ]! ( ! 1 2 [ ] [ ] 1 [ ]! [ ] [ ] a a c n a c n a a a n a a a a a a a n a n a a × × < × = × = + = × ×L × × L ， " e > 0 ， 要使 - = < e ! 0 ! n a n a n n ，只要 < e × n c a ，取 ú û ù ê ë é × = e c a N ，则只要 n > N ，就 有 - 0 < e n! a n ，即 0 ! lim = ®¥ n a n n 。 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是 把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次 要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 §2.2 序列极限的性质和运算