三(3分).问v(x,y)=2xy+3x是否可以作为解析函数的虚部?为 什么?若能,作出一个解析函数f(z),且使它经过点i时,函数值为0 解因为 ax ar20. du dy dy 02a2u 在全平面上连续,且a2+02=0,故是调和数,则它可作为解析 函数f(x)的虚部.设f(x)=+i0 由CR方程 ar ay 得 n=2,u=/2ndx=x2+y(y), 所以 ay ax 得 y(y)=-(2y+3 因此y(y)=-y2-3y+C,故 u=22-y2-3y+C 于是f(2)=x2-y2-3y+C+(2xy+3x).代入f(l)=0,得C=4,故 f(2)=x2-y2-3y+4+i(2xy+3x)=2+4+3iz3 U (3 ). i v(x, y) = 2xy + 3x \!:s g3k*℄p g YBTG￾ r$3k*℄ f(z), LZa5( i X￾*℄g 0. tg ∂v ∂x = 2y + 3, ∂ 2 v ∂x2 = 0, ∂v ∂y = 2x, ∂ 2 v ∂y2 = 0, ~RICV>q￾L ∂ 2 v ∂x2 + ∂ 2 v ∂y2 = 0, ' v \+*℄￾a: g3k *℄ f(z) p
W f(z) = u + iv. v C-R  ∂u ∂x = ∂v ∂y ,  ∂u ∂x = 2x, u = Z 2xdx = x 2 + ϕ(y), `s ∂u ∂y = ϕ ′ (y), v ∂u ∂y = − ∂v ∂x,  ϕ ′ (y) = −(2y + 3). t ϕ(y) = −y 2 − 3y + C, ' u = x 2 − y 2 − 3y + C, y\ f(z) = x 2 − y 2 − 3y + C + i(2xy + 3x). S f(i) = 0,  C = 4, ' f(z) = x 2 − y 2 − 3y + 4 + i(2xy + 3x) = z 2 + 4 + 3iz.