5.2.位移向量的运算律 边长|a,|b,a+b所唯一确定。再者’中国古算中的勾股定理(即古 希腊的毕氏定理)则可以改写成 若∠a,b)=直角,则有|a+b|2=al|2+|b 而在一般a,b并非互相垂直的情形则|a+b|2-a2-b|2≠0。例如当 a=b的特殊情形,则有 + b |bP2=4|al2-|al2-|al2=2|a2 总之’对于任给两个位移向量a,b,下述函数 f(ab)=2{a+b|2-a|2-b 是一个值得研讨的几何量’例如∫(a,b)=0乃是a,b互相垂直的充要 条件,而∫a,a)=|a|2所以它显然是一个和a,b的长度、夹角都密 切相关的几何量。但是归根究底(5.1)-式所定义的几何量是否真正有用 好用’还得要看它是否具有简洁好用的优良性质。它显然具有对称 性’即∫(ab)=∫(b,a)’而详加研讨的结果会发现它其实还具有下述 简洁易算的性质,即 (5.2) f(a, b+c)=f(a,b)+ f(a, c) 若以∫(a,b)的定义(即(5.1)-式)代入(5.2)-式’即得所需证者’实乃 下述含有三个任意向量的恒等式,亦即 2 f(a, b+c)-f(a, b)-f(a, c)1 (5.2) +b+c|2-|a+b|2-|b+cl2-|c+a|2 +|aP2+|b2+|c|2≡0 要证明上述对于任给三个向量{ab,c}都普遍成立的恒等式之前’自然 要看一看是否有一种对于任给二个向量{u,Y}都普遍成立的恒等式呢 若有·则一来肯定比较容易证明·二来说不定还可以把「後者」用 来证明「前者」。要把上述想法付诸实践’当然就得有一个「後者」 究竟是怎麼样的恒等式的「猜想」才能进而证明之·是不? 基础几何学之♦q♣❜rq♣❄s❂t✼✉✯✈✶✇✝①✞②❙③ ④⑥⑤ ⑦✄⑧⑩⑨ ❶❷⑨❜❸❷⑨ ❹❺⑨❜❸❷⑨ ❶❼❻❖❹❺⑨❉❽❂❾❏❿❄➀✸➁✕➂❼➃➅➄➇➆➉➈✞➊❡➋ ② ➈ ✇✸➌➎➍ ➁❀➏➑➐➓➒➅➋ ➔❀→ ✇✞➣✸↔ ➁❙➏✙↕➛➙✞➜✄➝➅➞❂➟❀➠ ➡➤➢❶➦➥➧❹➩➨➭➫✄➯✶➲➳➆▲➙❀➵➇⑨ ❶✱❻➸❹❺⑨ ➺➓➫✄⑨ ❶❷⑨ ➺❷❻✝⑨ ❹❺⑨ ➺ ➻☛➼ ❿❄➽❇❶➦❸➾❹❙➚✞➪➅➶➅➹✶➘✶➯ ✇❀➴➅➷ ➙❇⑨ ❶✱❻✠❹❺⑨ ➺➭➬ ⑨ ❶❷⑨ ➺➭➬ ⑨ ❹❺⑨ ➺✱➮➫❀➱✃➂❒❐❂❮Ï❰ ❶✃➫❀❹ ✇✯Ð✞Ñ❏➴✝➷ ➆✱➙❙➵ ⑨ ❶✱❻➸❹❺⑨ ➺ ➬ ⑨ ❶❷⑨ ➺ ➬ ⑨ ❹❺⑨ ➺➓➫❀ÒÓ⑨ ❶❷⑨ ➺ ➬ ⑨ ❶❷⑨ ➺ ➬ ⑨ ❶❷⑨ ➺➓➫ r ⑨ ❶❷⑨ ➺ Ô✯Õ ➆×Ö✶Ø✯Ù✄Ú✸Û✯Ü s❂t✼✉❄✈ ❶➦❸❉❹❄➆❼Ý✝Þ❪ß❀à á➩â ❶➦➥➧❹➩➨ã➫ ⑤rãä â ♦q♣ç⑤ ➨ ⑨ ❶✱❻➸❹❺⑨ ➺ ➬ ⑨ ❶❷⑨ ➺ ➬ ⑨ ❹❺⑨ ➺æå è ❿❂Ü❙é✝ê✝ë✄ì ✇❂í✺î❪✈ ➆✳❐❏❮ á➩â ❶➦➥➧❹➩➨ï➫❙➱ñð è ❶➦❸ò❹✯➶➅➹✓➘✓➯ ✇✝ó✞ô õ❡ö ➆ ➻ á➩â ❶➦➥➧❶ò➨✍➫♠⑨ ❶❷⑨ ➺ ➂❼❽❣➝✞÷❏ø✝ù è ❿❏Ü✝úû❶➦❸➦❹ ✇ ⑧✯üûýÿþ❪➲✁￾✄✂ ☎ ➹✝✆ ✇✝í✺î✄✈ ➂✟✞ è✡✠☞☛✝✌✎✍ â ♦q♣ç⑤ ➨✑✏✓✒❡❽✓➁✕✔ ✇✞í✺î✓✈ è✗✖✗✘✚✙ ➵✜✛ ý✣✢✤✛✤➆✦✥❙ê ô✗✧ ÷ è★✖★✩ ➵✄✪✬✫✭✢✤✛ ✇✭✮✰✯✲✱✴✳ ➂✃÷✶ø✝ù ✩ ➵❏Ö★✵ ✱ ➆ÿ➒ á➩â ❶➦➥➧❹➩➨✍➫ á➩â❹ï➥➧❶ò➨×➆ ➻✬✶✸✷ ë❪ì ✇★✹✜✺✚✻✕✼✗✽ ÷✿✾✝❀✬✥ ✩ ➵✶Ý❂Þ ✪❁✫✴❂ ②✶✇❁✱✡✳ ➆ ➒ â ♦q♣❜r ➨ á➩â ❶➦➥➧❹ñ❻❄❃ ➨➭➫ á➩â ❶➦➥➧❹➩➨ ❻ á➩â ❶➦➥❅❃ ➨ ➡ ➝ á➩â ❶➦➥➧❹➩➨ ✇ ➁✕✔ ➐➓➒ â ♦q♣ç⑤ ➨✑✏✓✒ ↕❇❆★❈ â ♦q♣❜r ➨✑✏✓✒➳➆▲➒☛ê❏❽❊❉●❋❂➄➇➆❍❀☛ð Ý✞Þ✗■❂➵❑❏✝Ü❀Ù❊▲ ✉✯✈✶✇✚▼★◆ ✒ ➆P❖✞➒ â ♦❘◗❜r❚❙ ➨ r ä á➩â ❶➦➥➧❹ñ❻❄❃ ➨ ➬☛á➩â ❶➦➥➧❹➩➨ ➬☛á➩â ❶➦➥❅❃ ➨ å ❯ ➫✄⑨ ❶✱❻➸❹ ❻❄❃Ó⑨ ➺➭➬ ⑨ ❶▲❻➸❹❺⑨ ➺➭➬ ⑨ ❹ñ❻❄❃Ó⑨ ➺➭➬ ⑨ ❃✳❻➸❶❷⑨ ➺ ❻❄⑨ ❶❷⑨ ➺ ❻✝⑨ ❹❺⑨ ➺ ❻✞⑨ ❃Ó⑨ ➺❲❱ ❳ ➱ ô ❋❊❨✁❩✞Þ➅Ö❂Ø❄Ù❏Ú★❏➅Ü ✉❡✈❭❬ ❶➦➥➧❹ï➥❅❃❫❪✦￾✕❴✸❵✞➠✗❛ ✇✭▼✸◆ ✒ Õ✕❜ ➆☞❝ñù ô✗✧ ❿ ✧ è★✖ ➵✓❿✗❞❏Ö✓Ø❙Ù❪Ú✸❡✓Ü ✉❀✈❢❬❤❣ ➥❥✐❦❪❧￾✡❴✜❵✶➠✕❛ ✇✗▼✜◆ ✒✚♠ ♥ ➡ ➵û➆ ➙✞❿✴♦✿♣✄➁✡q✬r✜s✄❂❄❋✄❨ ➆✣❡❊♦✬t❊✉❏➁✸✥✓➜✸➝❄✈ ✇②①✓➄④③✭✛ ♦❁❋⑤❨⑥✇ ❜ ➄④③✢➂ ô ✈✴❩✓Þ✡⑦✜⑧✎⑨✜⑩❶❀❁❷û➆ ❰➸ù✗❸✝ê❪➵✓❿✶Ü❹✇②①✓➄④③ ✌✚❺✞è✕❻✁❼★❽ ✇✿▼✕◆ ✒ ✇ ✇❿❾❊⑦➀③❁➁✕➂✬➃ ➻ ❋✝❨ Õ ➆ è ✉ ♥ ➄✗➅ í❡î✝➆ Õ ❡