第二章控制系统的内稳定性 由上述两个式子和(127)可得 det(DIYI+NIXI det(Y.Dr+XNr) fe(s)det DrdetY fop(s) 注意 det DI. detYI,detD,·detY,的不稳定零点与fp(s)不稳定零点相同。消去这些零点,可知fa(s) 稳定,当且仅当左边的行列式所有零点均稳定,即 DY1+NXt=W1且W1,W1∈R YDn+X,N,=W2,且W2,W∈RH 由引理22和双互质分解知,丑K的一个双互质分解,K=-XY1=Y1(-X),满足 Bezout方程 X (221) 由此可见,K镇定G2,当且仅当K的互质分解满足(2.1).所以,只需找到(221)式所有的解,即可 找到所有镇定G22的控制器。下述引理给出了 Bezout方程(221)的所有解 引理2.3设(Y,X)和(Y,X),(Y1,X和(Y1,X1),是 Bezout方程的任意两个解,则 Xr=Xr-QD, Yr=Y+QNI X DQ, Y=Y+Nr Q 其中Q为维数合适的R。传递函数矩阵。 证明:先证明(222)给出的(X,Y)和(X1,Y1满足(2.21).令Q为任意维数合适的R。传递函数矩 阵.将(2.21)式两端左乘/r-Q 1/,有乘/ +QN1X-QD1「D.-(X-D 上式说明(2.2)给出的(x,Y)和(Xn,Y)满足 Bezout方程(221). 再证明,若(X,Y)和(Xn,Y)是 Bezout方程的另一组解,则它们必有(222)式的形式。令 YD+XN=i, YD+X 两式相减,得(Y-Y)D+(X,-X)Nr 由N1X1+D1Y1=I得 (Y-Y)X1+(X-X)D11-(X-X)Y1=0 X 由于Y,Y,Xr,X,Y1和X1均是稳定的传递函数矩阵, (X-X,)Dn1=Q∈RH❃ ❄ ❅✓❆✘❇❉❈✏❊✟❋✘●■❍✏❏❁❑✟▲✏▼ ◆✰❖✓P✓◗✓❘✓❙✓❚✏❯❲❱ ❳ ❨ ❃ ❩ ❬✌❭✘❪ ❫❴ ❵ ❱❛❀❜❝❂❜ ❞✘❡✓❜❢✓❜ ❬❤❣❥✐❦ ❧ ❱ ♠ ❬ ❫❴ ❵ ❛❂❜ ❫❴ ❵ ❝✰❜ ✐♥ ♦ ❱ ♠ ❬q♣ ❫❴ ❵ ❱❝✰r ❛❂r✤❞❀❢✓r ❡✓r ❬❤❣❥✐❦ ❧ ❱ ♠ ❬ ❫❴ ❵ ❛❂r ❫❴ ❵ ❝❂r ✐♥ ♦ ❱ ♠ ❬ s t✘✉ ❫❴ ❵ ❛❂❜ ✈ ❫❴ ❵ ❝❂❜ ♣ ❫❴ ❵ ❛❀r✤✈ ❫❴ ❵ ❝❂r☎✇✘①✓②✓③✘④✟⑤✘⑥ ✐♥ ♦ ❱ ♠ ❬ ①✓②✓③✘④✟⑤⑧⑦■⑨✓⑩❀❶✘❷✘❸✏❹✓④■⑤✓❺ ❭✏❻ ✐❦ ❧ ❱ ♠ ❬ ②✓③✏❺⑧❼⑧❽✓❾✟❼⑧❿✏➀■✇⑧➁✏➂✓❙✏➃✓➄✏④■⑤⑧➅✟②✓③✟❺⑧➆ ❛❀❜❝❂❜ ❞⑧❡✏❜❢✓❜ ❣➈➇➊➉ ❽➇➊➉ ♣ ➇➊➋ ➉ ➉✚➌✂➍✡➎✰➏ ❝✰r ❛❂r✤❞❀❢✓r ❡✓r ❣➈➇➑➐ ♣ ❽➇➑➐ ♣ ➇➑➋ ➉ ➐❤➌✂➍✡➎✰➏ s ◆❀➒⑧➓ ❃ s ❃ ❯✓➔✓→✏➣✘↔✓↕❻❺➛➙➜➝✇✘➞✘❘✓➔✓→✏➣✓↔✓↕■❺➟➜ ❣✏➠❢✓❜ ❝ ➋ ➉ ❜❤❣ ❝ ➋ ➉ r ❱ ➠❢✓r ❬ ❺✰➡✏➢✚➤❴ ➥ ➦➧❵✤➨✏➩ ➫ ❝❂r➭❢✘r ➠❡✏❜➝❛❂❜✂➯ ✈ ➫ ❛❂r ➠❢✓❜ ❡✓r➲❝✰❜➑➯ ❣ ➫✡➳➸➵ ➵➺➳ ➯⑧s ❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ◆❂➻❭✏➼❺✚➜➾➽✟③❲➚➐ ➐ ➪ ❼✘❽✏❾■❼✚➜❤✇✘→✟➣✓↔✏↕✏➡✟➢➶❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ❨☛➃✵➹✓❺⑧➘✓➴✏➷✓➬➝❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ❙✏➃✏➄■✇✘↕■❺⑧➆ ❭ ➷✘➬✓➃✓➄✓➽✏③❤➚ ➐ ➐ ✇⑧➮✓➱✓✃✟⑩❀❐✘P✟➒✘➓✏❒■❮✓❰➛➤ ❴ ➥ ➦➧❵Ï➨✏➩ ❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ✇⑧➃✓➄✓↕✟⑩ Ð⑧Ñ➝Ò✢Ó Ô✏Õ×Ö❝❂r ♣ ❢✘r Ø✡Ù❲ÖÛÚ❝❂r ♣ ❢✘r Ú Ø ÜÝÖ❝❂❜ ♣ ❢✘❜ Ø✡Ù❲ÖÛÚ❝✰❜ ♣ ❢✓❜ Ú Ø Ü✢Þ❤ß✌àá âãä☛å✘æ✟ç❀è✏é✟ê⑧ë✏ì✟❺✘í ❢✓r Ú ❣ ❢✓r ➠⑧î❛❂❜ ♣ ❝❂r Ú ❣ ❝✰r✤❞ î❡✓❜ ❢✓❜ Ú ❣ ❢✘❜ ➠ ❛❂r î ♣ ❝❂❜ Ú ❣ ❝✰❜ ❞✘❡✓r î ❱ ❃ ❨ ❃ ❃ ❬ ï■ð î➑ñ✘ò✘ó✏ô✓õ ç ➍✡➎⑧➏✫ö✓÷✟ø ó✓ù■ú ⑩ û✟ü✘ýÿþ✁￾✄✂ ❱ ❃ ❨ ❃ ❃ ❬ ❒✟❮✘✇➾❱☛Ú❢✓r ♣ ❝❂r Ú ❬ ❯❤❱ÿÚ❢✘❜ ♣ ❝❂❜ Ú ❬ ➡✏➢✚❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ❨✆☎ î✄✝✁✞✉✁✟✁✠✁✡✁☛✇ ➍✡➎❀➏✄☞✍✌✏✎✠✁✑ ✒✘⑩✔✓❲❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ❙✓◗✁✕✓❿✁✖ ➫❁➳ ➠Ïî ➵ ➳ ➯ ❺✔✗✁✖ ➫✂➳ î ➵❉➳ ➯ ❺ ❪ ➫ ❝❂r✤❞ î❡✓❜ ❢✓r ➠✘î❛❂❜ ➠❡✓❜ ❛❂❜ ➯ ➫ ❛❂r ➠ ❱❢✓❜ ➠ ❛❂r î✡❬ ❡✓r ❝✰❜ ❞✘❡✓r î ➯ ❣ ➫✡➳ ➵ ➵❥➳ ➯ ❱ ❃ ❨ ❃ ✘ ❬ ❖✓❙✁✙✂ ❱ ❃ ❨ ❃ ❃ ❬ ❒✟❮✘✇✚❱☛Ú❢✓r ♣ ❝❂r Ú ❬ ❯❲❱ÿÚ❢✓❜ ♣ ❝✰❜ Ú ❬ ➡✏➢✚➤ ❴ ➥ ➦➧❵✌➨✏➩ ❱ ❃ ❨ ❃ ❳ ❬ ❨ ✚￾✄✂ ❺✔✛❲❱✤Ú❢✏r ♣ ❝❂r Ú ❬ ❯❲❱ÿÚ❢✓❜ ♣ ❝✰❜ Ú ❬✢✜ ➤ ❴ ➥ ➦➧❵Ý➨✏➩✇✁✣✘➞✍✤✓↕■❺✔✥✏✦★✧✁✩✘➄❲❱ ❃ ❨ ❃ ❃ ❬ ❙✟✇✫✪✓❙✟⑩✔☎ ❝✰r ❛❂r✤❞❀❢✓r ❡✓r ❣ ➳ ♣ ❝❂r Ú ❛❀r☛❞➛Ú❢✘r ❡✓r ❣ ➳ s ◗✓❙✓⑦✁✬✟❺ ❪ ❱❝⑧r ➠ ❝❂r Ú ❬ ❛❀r☛❞✓❱❢✘r ➠ ❢✓r Ú ❬❡✏r ❣ ➵ ➪ ✭✯✮ ❱❝❂r ➠ ❝❂r Ú ❬ ❞✓❱❢✘r ➠ ❢✘r Ú ❬❡✓r ❛ ➋ ➉ r ❣ ➵ ✭✯✮ ❱❝❂r ➠ ❝❂r Ú ❬ ❞✓❱❢✘r ➠ ❢✘r Ú ❬ ❛ ➋ ➉ ❜ ❡✏❜ ❣ ➵ ❣✮ ❱❝❂r ➠ ❝❂r Ú ❬❢✓❜ ❞✘❱❢✓r ➠ ❢✘r Ú ❬ ❛ ➋ ➉ ❜ ❡✓❜❢✘❜ ❣ ➵ ◆➊❡✓❜❢✘❜ ❞✘❛❂❜ ❝❂❜ ❣ ➳ ❪ ❱❝❂r ➠ ❝❂r Ú ❬❢✓❜ ❞✘❱❢✓r ➠ ❢✓r Ú ❬ ❛ ➋ ➉ ❜➾➠ ❱❢✓r ➠ ❢✘r Ú ❬❝✰❜ ❣ ➵ ✭✯✮ ❱❢✓r ➠ ❢✓r Ú ❬ ❛ ➋ ➉ ❜❤❣ ❱❢✓r ➠ ❢✓r Ú ❬❝❂❜ ➠ ❱❝❂r ➠ ❝❂r Ú ❬❢✓❜ s ◆✔✰ ❝❂r Ú ➪ ❝✰r ➪ ❢✓r Ú ➪ ❢✘r ➪ ❝✰❜ ❯✚❢✘❜ ➅✜②✓③✏✇☞✍✌✱✎✠✁✑ ✒✘❺ ❱❢✓r ➠ ❢✓r Ú ❬ ❛ ➋ ➉ ❜❤❣✏î ➌✂➍✡➎❁➏ s ❱ ❃ ❨ ❃ ✲ ❬