(3)二元函数取得极值的必要条件：设函数：=fx,y)在点B(:,)具有偏导数，且 在点（化）处有极值，则有x)=36)=0. (4)二元函数取得极值的充分条件：设：=，)在P(:,)处存在二阶连续偏导数， )为fx)的驻点，记 A=),B=(o-),C=() 则有 4>0 A=AC-B2 A>0 4<0 4=0 A<0 fx)在（化）处 取极小值 取极大值 不取极值 是否取极值不能确 定，需另作讨论 2.条件极值 求函数fx,)在条件x,)=0下的极值的方法与步骤 (1)令F(x52)=fx)+0x,): (2)求使正=正==0的点()，即为可能的极值点 (3)由函数取得极值的充分条件或定义来确定(，)是否为极值点： (4)求极值. 上述方法称为拉格朗日乘数法，该方法可推广到多个变量的函数在多个约束条件下的条 件极值问题.例如，要求函数u=fxy,:,)在附加条件(x,八，：，)=0和y(化，y,)=0 下的极值： 可以先作拉格朗日函数Lx=,)=x,y,)+x,水，)+4x=,)其中元“均 为参数，求其一阶偏导数，并令一阶偏导数为零，然后与两个附加条件方程联立起来求解， 这样得出的（化，o,)就是函数u=fx以，）在附加条件o(x,以，)=0和w(x以，)=0 下的可能极值点.再由函数取得极值的充分条件或定义来确定（化，）是否为极值点。 3.最值 若fx,)在有界闭区域D上连续，则fx,)在D上存在最大值和最小值，求最大值利 最小值的方法是：求出x,)在D内的驻点和偏导数不存在的点，将其函数值与∫x,)在 D的边界上的最大值和最小值进行比较，最大者为最大值，而最小者为最小值。 (九)二元函数的泰勒公式 设：=f(x)在点（化，为）的某一邻域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数， (伍。+h,%+)为此邻域内任一点，则有（3）二元函数取得极值的必要条件：设函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 P x y ( , ) 具有偏导数，且 在点 0 0 0 P x y ( , ) 处有极值，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y   = = ． （4）二元函数取得极值的充分条件：设 z f x y = ( , ) 在 0 0 0 P x y ( , ) 处存在二阶连续偏导数， 0 0 0 P x y ( , ) 为 f x y ( , ) 的驻点，记 0 0 ( , ) A f x y xx =  ， 0 0 ( , ) B f x y xy =  ， 0 0 ( , ) C f x y yy =  ， 则有 2  = − AC B  0  0 = 0 A>0 A<0 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 处 取极小值 取极大值 不取极值 是否取极值不能确 定，需另作讨论 2．条件极值 求函数 f x y ( , ) 在条件 ( , ) 0 x y = 下的极值的方法与步骤： （1）令 F x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , )   = + ； （2）求使 0 FFF x y   ===    的点 0 0 ( , ) x y ，即为可能的极值点； （3）由函数取得极值的充分条件或定义来确定 0 0 ( , ) x y 是否为极值点； （4）求极值． 上述方法称为拉格朗日乘数法．该方法可推广到多个变量的函数在多个约束条件下的条 件极值问题．例如，要求函数 u f x y z t = ( , , , ) 在附加条件 ( , , , ) 0 x y z t = 和 ( , , , ) 0 x y z t = 下的极值： 可以先作拉格朗日函数 L x y z t f x y z t x y z t x y z t ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ), = + +   其中  , 均 为参数，求其一阶偏导数，并令一阶偏导数为零，然后与两个附加条件方程联立起来求解， 这样得出的 0 0 0 0 ( , , , ) x y z t 就是函数 u f x y z t = ( , , , ) 在附加条件 ( , , , ) 0 x y z t = 和 ( , , , ) 0 x y z t = 下的可能极值点．再由函数取得极值的充分条件或定义来确定 0 0 0 0 ( , , , ) x y z t 是否为极值点． 3．最值 若 f x y ( , ) 在有界闭区域 D 上连续，则 f x y ( , ) 在 D 上存在最大值和最小值，求最大值和 最小值的方法是：求出 f x y ( , ) 在 D 内的驻点和偏导数不存在的点，将其函数值与 f x y ( , ) 在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，最大者为最大值，而最小者为最小值． （九）二元函数的泰勒公式 设 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 的某 一邻 域内 连续 且有直 到 n +1 阶的连 续偏 导数， 0 0 ( , ) x h y k + + 为此邻域内任一点，则有 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2! f x h y k f x y h k f x y h k f x y x y x y         + + = + + + +            