《数学分析》上册教案 第一章实数集与函数 海南大学数学系 例如：1)f(x)=1,xeR,g(x)=L,x∈R1O.(不相同，对应法则相同，定义域不同) 2)o(x)xx∈Rx)=VF,x∈R(相同，对应法则的表达形式不同) (③)函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的 全体，通常称为存在域（自然定义域），此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对 应法则∫来表示一个函数即“函数y=∫x)”或“函数∫” (4)“映射”的观点米看，函数f本质上是映射，对于aeD,f(a)称为映射f下a的象a 称为f(a)的原象 (⑤)函数定义中，x∈D,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值 函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数本书中只讨论单值 函数（简称函数） (6)定义1中的定义是Cauchy于1834年给出.不是完美的、现 代意义上的函数定义事实上，函数定义的产生也经历了一个从无 到有，从具体到抽象从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程 这个进程中充满了斗争历史上，原始的“函数观念”伴随着数学 的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在17 世纪以后，现代函数定义是在1921年，则库拉托夫斯基给出.定义如下： 设∫是一个序偶集合，若当(x,y)∈∫时，y=,则∫称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数 概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990年第4期) 二、函数的表示方法 (一)主要方法： 解析法（分式法）、列表法和图象法 (二)可用“特殊方法”来表示的函数 1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示 1,x>0 例如 sgnx={0,x=0,(符号函数) -1,x<0 (借助于Sgnx可表示f(x)xL,即f(x)Hx=xsgnx)《数学分析》上册教案 第一章 实数集与函数 海南大学数学系 2 0 例如：1） f x x R ( ) 1, , =  g x x R ( ) 1, \ 0 . =    （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） ( ) | |, , x x x R =  2 ( ) , . x x x R =  （相同，对应法则的表达形式不同）. (3) 函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的 全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对 应法则 f 来表示一个函数.即“函数 y f x = ( ) ”或“函数 f ”. (4) “映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ， f a( ) 称为映射 f 下 a 的象. a 称为 f a( ) 的原象. (5) 函数定义中，  x D ，只能有唯一的一个 y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值 函数”，若对同一个 x 值，可以对应多于一个 y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值 函数（简称函数）. (6) 定义１中的定义是 Cauchy 于 1834 年给出.不是完美的、现 代意义上的函数定义.事实上，函数定义的产生也经历了一个从无 到有，从具体到抽象.从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程. 这个进程中充满了斗争.历史上，原始的“函数观念”伴随着数学 的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究, 则在 17 世纪以后，现代函数定义是在 1921 年，则库拉托夫斯基给出.定义如下： 设 f 是一个序偶集合，若当 ( , ) x y f  时， y z = ，则 f 称为一个函数.（朱家麟《浅谈函数 概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990 年第４期） 二、 函数的表示方法 (一) 主要方法： 解析法（分式法）、列表法和图象法. (二) 可用“特殊方法”来表示的函数 1、分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示. 例如 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x    = =   −  ，（符号函数） （借助于 Sgnx 可表示 f x x ( ) | |, = 即 f x x x x ( ) | | sgn = = ）