666 力 展 2008年第38卷 (6)相互影响的拓扑生长和强度耦合同步机杂网络的混合理论模型3部曲的主要框架及其 制(TDE模型)24.引进两种机制:保持拓扑生长进展 规则,按照点强择优连接;增加了老节点之间的连 边,含权择优服从强度耦合动力学更新机制 3统一混合网络模型理论的3部曲 cy→{y+1,以概率 Sis ;,以概率1 自然界和人类社会生活在一个既可确定又有 a<b 随机概率的世界里,这就是随机性与确定性的统 由此确定权重;的增量.若节点i与节点j不相和谐的世界.基于这个最基本事实确认:进 连,ω;=0.边杈总增量取平均权值.带有m条步完善和发展网络的混合理论模型是网络模型研 边的新节点n按BBⅤ规则与老节点随机连接.每究的最重要方向之一.随机性与确定性的共存现 条新边权重值为.于是得到边权分布、度分布象普遍存在,比比皆是,例如,每年全国高考招生 和点强度分布均为幂律分布,其中点强幂指数为网、公务员考试网和社会就业(人才招聘)网,等 7s=2+m/(m+2u);点强与度之关系为s(k)≈k,等,都包含随机性和确定性两种混合择优过程,以 并且β>1;群聚系数C随ω的增大而增大 及多种混合方式.另一种典型表现在由混沌方程 (⑦)地理位置最(次)邻近择优机制,可谓“近为节点组成的复杂动态网络,随着网络演化,网 水楼台先得月”.类似地,还可以利用局域信息 络系统随时空发生分岔、阵发和混沌等斑图现象, (8)权重驱动与局域世界规则联合驱动机制.就是复杂网络上再次体现出确定性与随机性、有 (9)拓扑结构与动力学(或网络功能)演化相序与无序、简单与复杂的一种典型的和谐统一形 互影响机制 式.不论是物理网络、还是生物网络和技术网络 总之,在这些驱动机制下,几乎现有的有权演概不例外,只不过确定性和随机性两者的混合程 化网络模型的度分布、点强分布和边权分布都服度和采取方式依具体对象不同而己,它们总是自 从幂律分布,只是它们的幂函数形式和幂指数不然地和谐地共存在自组织复杂网络系统之中.因 同而已.显然,有权演化网络的研究揭示了形成多此,多种混合和择优方式在自然界和人类社会中 个幂律分布的物理机制及其多样性和复杂性.把具有普遍性和广泛性,这是理论研究的实际基础 无权网络推进了一步,更接近实际网络特性 和真实背景,完全符合自然的、社会的、物理的、 必须指出:除了个别模型外,上述所有有权模技术的以及生命的实际网络情况.许多研究已经 型几乎都属于广义随机网络模型.显然,这些有权发现许多实际网络兼有小世界特性和无标度性质 网络模型存在的最主要的一个共同问题是:它们即它们的拓扑特性不仅具有小的最短平均路径长 都只考虑随机性驱动机制,而且都忽视了确定性度( average path length,APL),而且具有大的平均 驱动(包括不同确定性择优连接等)机制,也就是群聚系数( Average clustering coefficient,ACC)那 它们都缺乏实际世界中自然存在的两种混合连接么,为什么许多广义随机网络的理论模型仍然还 的可能方式.追究其最主要原因可能与这些理论不足以同时揭示或完全具备实际网络的完全特性 模型能否求其解析解有密切的关系,只考虑随机呢?wats和 Strogatz提出的小世界模型是在网 性连接无疑方便于理论推导工作,可以比较容易络大小固定的规则圆周上,只通过对少数节点进 地求到理论表达式,而两种混合情形非常难求得行随机的“远程连接”,就可导致从规则到随机之 解析解.因此上述这些模型虽然也可以部分反映间的转变特性.于是,人们又要问:如果网络是 实际有权网络的主要特性,但是仍然很不全面,就动态增长演化的情形,那么生长网络的连接方式 是因为这些模型从根本上与自然界和人类社会中从随机到规则或从规则到随机相互转变时,将使 普遍存在的随机性和确定性两者是和谐统一的真演化网络的拓扑特性和动力学行为发生什么样转 世界并不符合所致 变?换句话说,若采用随机性与确定性连接混合 为了刻画具有随机性和确定性两者混合的生长和多种混合方式时,这样的网络模型是否能 真实网络的复杂性与多样性,进一步改进和完够得到更符合实际网络的特性?如此又会揭示和 善有关网络理论模型,深入开展混合网络理论模出现什么新的特点和规律?为了寻求这个问题的 型的研究是很有必要的.本文下面重点评述复答案和相应的解决方法与途径,为了描述确定性666 力 学 进 展 2008 年 第 38 卷 (6) 相互影响的拓扑生长和强度耦合同步机 制 (TDE 模型) [24] . 引进两种机制: 保持拓扑生长 规则, 按照点强择优连接; 增加了老节点之间的连 边, 含权择优服从强度耦合动力学更新机制 wij → ( wij + 1,以概率wpij , wij ,以概率1 − wpij , wpij = P sisj a<b sasb 由此确定权重 wij 的增量. 若节点 i 与节点 j 不相 连, wij ＝ 0. 边权总增量取平均权值. 带有 m 条 边的新节点 n 按 BBV 规则与老节点随机连接. 每 条新边权重值为 w0. 于是得到边权分布、度分布 和点强度分布均为幂律分布, 其中点强幂指数为 γs = 2 +m/(m+ 2ω); 点强与度之关系为 s(k) ≈ k β , 并且 β > 1; 群聚系数 C 随 ω 的增大而增大. (7) 地理位置最 (次) 邻近择优机制, 可谓 “近 水楼台先得月”. 类似地, 还可以利用局域信息. (8) 权重驱动与局域世界规则联合驱动机制. (9) 拓扑结构与动力学 (或网络功能) 演化相 互影响机制. 总之, 在这些驱动机制下, 几乎现有的有权演 化网络模型的度分布、点强分布和边权分布都服 从幂律分布, 只是它们的幂函数形式和幂指数不 同而已. 显然, 有权演化网络的研究揭示了形成多 个幂律分布的物理机制及其多样性和复杂性. 把 无权网络推进了一步, 更接近实际网络特性. 必须指出: 除了个别模型外, 上述所有有权模 型几乎都属于广义随机网络模型. 显然, 这些有权 网络模型存在的最主要的一个共同问题是: 它们 都只考虑随机性驱动机制, 而且都忽视了确定性 驱动 (包括不同确定性择优连接等) 机制, 也就是 它们都缺乏实际世界中自然存在的两种混合连接 的可能方式. 追究其最主要原因可能与这些理论 模型能否求其解析解有密切的关系, 只考虑随机 性连接无疑方便于理论推导工作, 可以比较容易 地求到理论表达式, 而两种混合情形非常难求得 解析解. 因此上述这些模型虽然也可以部分反映 实际有权网络的主要特性, 但是仍然很不全面, 就 是因为这些模型从根本上与自然界和人类社会中 普遍存在的随机性和确定性两者是和谐统一的真 实世界并不符合所致. 为了刻画具有随机性和确定性两者混合的 真实网络的复杂性与多样性, 进一步改进和完 善有关网络理论模型, 深入开展混合网络理论模 型的研究是很有必要的. 本文下面重点评述复 杂网络的混合理论模型 3 部曲的主要框架及其 进展. 3 统一混合网络模型理论的 3 部曲 自然界和人类社会生活在一个既可确定又有 随机概率的世界里, 这就是随机性与确定性的统 一和谐的世界. 基于这个最基本事实确认: 进一 步完善和发展网络的混合理论模型是网络模型研 究的最重要方向之一. 随机性与确定性的共存现 象普遍存在, 比比皆是, 例如, 每年全国高考招生 网、公务员考试网和社会就业 (人才招聘) 网, 等 等, 都包含随机性和确定性两种混合择优过程, 以 及多种混合方式. 另一种典型表现在由混沌方程 为节点组成的复杂动态网络, 随着网络演化, 网 络系统随时空发生分岔、阵发和混沌等斑图现象, 就是复杂网络上再次体现出确定性与随机性、有 序与无序、简单与复杂的一种典型的和谐统一形 式. 不论是物理网络、还是生物网络和技术网络, 概不例外, 只不过确定性和随机性两者的混合程 度和采取方式依具体对象不同而已, 它们总是自 然地和谐地共存在自组织复杂网络系统之中. 因 此, 多种混合和择优方式在自然界和人类社会中 具有普遍性和广泛性, 这是理论研究的实际基础 和真实背景, 完全符合自然的、社会的、物理的、 技术的以及生命的实际网络情况. 许多研究已经 发现许多实际网络兼有小世界特性和无标度性质, 即它们的拓扑特性不仅具有小的最短平均路径长 度 (average path length, APL), 而且具有大的平均 群聚系数 (Average clustering coefficient, ACC). 那 么, 为什么许多广义随机网络的理论模型仍然还 不足以同时揭示或完全具备实际网络的完全特性 呢？Watts 和 Strogatz 提出的小世界模型是在网 络大小固定的规则圆周上, 只通过对少数节点进 行随机的 “远程连接”, 就可导致从规则到随机之 间的转变特性. 于是, 人们又要问: 如果网络是 动态增长演化的情形, 那么生长网络的连接方式 从随机到规则或从规则到随机相互转变时, 将使 演化网络的拓扑特性和动力学行为发生什么样转 变？换句话说, 若采用随机性与确定性连接混合 生长和多种混合方式时, 这样的网络模型是否能 够得到更符合实际网络的特性？如此又会揭示和 出现什么新的特点和规律？为了寻求这个问题的 答案和相应的解决方法与途径, 为了描述确定性