第4章频率域滤波 125 示。我们现在认为这是理所当然的，但在当时，这个概念第一次出现之后，一个复杂函数可以表示为 简单的正弦和余弦之和的概念一点也不直观（见图4.1），所以傅里叶思想遭到怀疑是不足为奇的。 甚至非周期函数（但该曲线下的面积是有限的） 也可以用正核和/或余弦乘以加权函数的积分来表 示。在这种情况下的公式就是傅里叶变换，其作用 在多数理论和应用学科中甚至远大于傅里叶级数。 用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过 傅里叶反变换来重建，而不会丢失任何信息。这是 这种表示方法的最重要特征之一，因为它可以使我 们工作于“傅甲叶城”，而且在返回到函数的原始 域时不会丢失任何信息。总之，傅里叶级数和变换 是解决实际问题的工具，它作为基础工具被广泛地 学习和利用 傅里叶概念的最初应用是在热扩散领域，在该 领域，人们考虑用微分方程来表示热流动，并且使 用这种方法第一次获得了结论。在过去的一个世纪 中，尤其是后50年，傅里叶的思想使整个工业和 学术界都空前繁荣。早在20世纪60年代（或更晚 些)，数字计算的出现和快速傅里叶变换算法(FT 的“发现”在信号处理领域产生了巨大变革。这 两种核心技术第一次允许人们对从医学监视器和 图4.1底部的函数是其上面4个函数的和。1807年 扫描仪到现代电子通信的异常重要的信号进行实 傅里叶关于周期函数可以表示为正弦和 际处理。 余弦的加权和的概念遭到了人们的质疑 由于我们将仅处理持续时间有限的函数（图像），所以傅里叶变换是我们感兴趣的工具。在以下 节的内容中，将介绍傅里叶变换和频率域。业已证明，傅里叶技术为研究和实现主要的图像处理算 法提供了有意义且实用的方法。在某些情况下，这些方法与我们在第3章中介绍的方法类似。 4.1.2关于本章中的例子 如第3章那样，在这一章中，多数图像滤波例子是处理图像增强问题。例如，平滑和锐化与为 比度处理技术一样，与图像增强有传统的联系。非常自然，数字图像处理方面的初学者会发现图像增 强很有趣并很容易理解。因此，在本章中以图像增强为例不仅可节省本书额外的章节，而且更重要的 是我们将为初学者介绍颜率域滤波技术提供一个有效的工具。在第5章、第8章、第10章和第1章 中，对于其他应用我们用频率域处理方法。 4.2基本概念 为简化本章的概念出现的进程，我们暂时停止介绍为后面的章节打基础的内容的一系列基本概念。 4.2.1复数 复数C的定义如下： C=R+jl (42.1）