1B6(x,y1) 4C(x1,y) 则 Pdx+Od JA(Io,o) P(x,y+」Q(x,y)d 或=,0xy)+P(x 例1计算jx2+2xy)+(x2+y)其中L为由点O0.O)到点BU1)的曲 线弧y=sna 解 (x2+2xy)=2x P a 原积分与路径无关 故原式=x+1(+y地23 例2设曲线积分xyd+y(x)d与路径无关,其中q具有连续的导数且 L 0(0)=0,计算厂xy2ax+yq(x)dy N P(x, y)=xy, O(x, y)=yo(x). ap a Lyo(x)=yo(x) 积分与路径无关 由yq(x)=2xy→(x)=x2+c 由(0)=0,知c=0→(x)=x23 x Q y P      若  + ( , ) ( , ) 1 1 0 0 B x y A x y 则 Pdx Qdy P x y dx Q x y dy y y x x ( , ) ( , ) 1 0 1 0 =  0 +  1 Q x y dy P x y dx x x y y ( , ) ( , ) 1 0 1 0 或 =  0 +  1 例 1 计算  + + + L (x 2xy)dx (x y )dy 2 2 4 .其中L为由点 O(0, 0) 到点 B(1,1) 的曲 线弧 2 sin x y  = . 解 x xy x y y P ( 2 ) 2 2 + =   =   ， x y x x x Q ( ) 2 2 4 + =   =   x Q y P   =    ，原积分与路径无关 故原式   = + + 1 0 1 0 2 4 x dx (1 y )dy . 15 23 = 例 2 设曲线积分  + L xy dx y (x)dy 2  与路径无关, 其中  具有连续的导数, 且 (0) = 0,计算  + (1,1) (0,0) 2 xy dx y(x)dy . 解 ( , ) , 2 P x y = xy Q(x, y) = y(x), ( ) 2 , 2 xy xy y y P =   =   [ y (x)] y (x), x x Q  =    =   积分与路径无关 x Q y P   =   ， 由 y(x) = 2xy  x = x + c 2 ( ) 由 (0) = 0 ，知 c = 0 2 (x) = x . ( , ) 1 0 •C x y ( , ) 1 1 • B x y x y o ( , ) 0 0 • A x y