上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入 内积的概念, 定义1设X是复线性空间,如果对X中任何两个向量x,3, 有一复数x,y与之对应,并且满足下列条件: 1°〈x,x)≥0,且x,x>=0等价于x=0,x∈X 2°<ax÷6y,x=a、x,x引,x),x,引,z∈X,,月为复数; 3°〈x,}=〈,x,x,∈x, 则称(x,y>为x与的内积X称为内积空间 如果X是实的线性空间,则条件3°就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式 〈x,gy+Bz〉=(x,》+6(x,z (2) 设X是内积空间,令 那末|x是X上的范数,事实上,由内积定义及(2)式不难证明 (a)!x≥0,且=0等价于x=0; (b)|arl=,a||x!. 为了证明范数不等式lx+到≤+y,我们首先证明许瓦兹 ( Schwarz)不等式: 引理1( Schwarz不等式)设X按内积(x,y成为内积空间, 则对于X中任意向量x,,成立不等式 <x,y》≤lx!yl (4) 当且仅当x与y线性相关时,不等式(4)中等号才成立 证明如果=0,易知对一切∈X,<x,0)=0,因而(4)式成 立,若y与0,则对每个复数c由内积条件1°,有 0≤(x-cy,x-ay}>=(x,2)一a(x,3)一a(3,x》一a(y,3)] 令a=〈孙,x》/(3,3〉,那末上式方括号中式子为0,所以46