0≤(x,x)-“, 〈x,y>=r 1<x,y) 〈y,y〉 两边乘以扩2,并且开方,即可得到要证的 Schwarz不等式 〈x,g)!≤!x!yl 若x与线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之、若(4)式中等号成立,假定y=0,则x与犭自然线性相关,若 y÷0,令 a= 由 Schwarz不等式推导过程,易知!x-ay2=0,即x=ay,所以x 与y线性相关,证毕 由 Schwarz不等式,立即可知!x满足范数不等式,事实上 1z+:2=:〈x-y,x+y)=(x,x)+《y,x+(x,3》+(y,g z12+(x,y)+〈y,z)+|y ≤|x|2+21ryl+My|2=(}x+y)2, 所以!x+到≤x.称由(3)式定义的范数}x|为由内积导出 的范数所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若X按(3)式中范 数完备,则称为Hber空间 设|x是由内积导出的范数,通过计算,读者不难证明对X中 任何两个向量x,3∈X,成立平行四边形公式 lz+2+x-y|2==2(|x!2+y2) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广,反之可以证明, 若X是线性赋范空间,其中范数x对X中任何向量x,∈X,满足 平行四边形公式(5),那末一定可在X中定义内积〈x,y〉,使z就 是由内积〈x,y〉导出的范数,证明因限于篇幅而略去.因此,(5)式 是内积空间中范数的特征性质 下面举一些内积空间的例子 例1L2[a,b],对L2[a,b]中任意向量x,3,定义47