dv(x, y)=v, dx+v, dy C.-R. -u, dx+udy 同样已知v(x,y),求l(x,y) du(x, y)=u, dx +u, dy C-r v dx+(-v )d x,y) u(x,y)= v, dx-v dy+C 例:验证(x,y)=x3-3xy2在二平面上调和, 求以l(x,y)为实部的解析函数f(=)且f(0)= 解a a-u ay2 6x-6x=0 故u(x,y)在二平面调和 v x,y)= dx+dy+C 6xydx+(3x -3y)dy+C 6x.0dx+(3x2-3y2)0(y=0) 6xp:,0+(3x2-3y2)d+C(x为常数) 3x y-y'+C f()=u+=x3-3xy2+i(3x2y-y3+C) =(x+)3+C +iC 由f(0)=1,得C=1,故f()=z3+l。 例:验证v(x,y)= arctan2是在右半平面 (x>0)内的调和函数,求以此为虚部的f(=) y (x>0)dv x y v dx v dy C R u dx u dy = x + y − − y + x ( , ) . . 同样 已知 v(x, y), 求 u(x, y) .  = − + = + − + − ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) . ( , ) ( ) x y x y y x x y y x u x y v dx v dy C du x y u dx u dy C R v dx v dy 例：验证 3 2 u(x, y) = x − 3xy 在 z 平面上调和， 求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f (z) 且 f (0) = i . 解： 6 6 0 2 2 2 2 = − =   +   x x y u x u 故 u(x, y) 在 z 平面调和. x y y C x y dy C x y x y dy C x x dx x y y xydx x y dy C dy C x u dx y u v x y y x y x x x y x y = − + = − + +  + −  + =  + −  = = + − + +   +   = −      2 3 0 2 2 ( , ) ( ,0) 2 2 ( ,0) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) 3 (3 3 ) 6 0 (3 3 ) ( ) 6 0 (3 3 ) 0 ( 0) 6 (3 3 ) ( , ) 为常数 z iC x iy iC f z u iv x x y i x y y C = + = + + = + = − + − + 3 3 3 2 2 3 ( ) ( ) 3 (3 ) 由 f (0) = i ，得 C =1 ，故 f z = z + i 3 ( ) 。 例：验证 x y v(x, y) = arctan 是在右半平面 （ x  0 ）内的调和函数，求以此为虚部的 f (z). 解 ( 0) 1 2 2 2 2 2  + = − + − = x x y y x y x y vx