得递推关系： f(s)=max{8ug+5(sk-4)+f+(0.7u+0.9(s-4)},k=4,…,1 0s丝≤虽 f5(s3)=max{8u+5(s3-4)} 4=0.935-500)/3 5.1.3二维资源分配问题 设有两种资源，总数量分别为a和b,用于生产n种产品。若分配数量为x,的第一种资源和数量为 片的第二种资源给第i种产品的生产，则可得收益g:(x,)。问应如何分配资源，使生产种产品的总收 益最大？ 静态规划： maxz=g(x,)+..+g() S1.x1+…+xn=a y+…+yn=b x,y,≥0，j=1…,n 动态规划：设 阶段：把资源分配给一个产品的生产作为一个阶段，k=1,…,n; 状态变量(S,l4):S为分配给第k种产品至第n种产品的第一种资源的数量，0≤s≤a: 1为分配给第k种产品至第n种产品的第二种资源的数量，0≤1，≤b: 决策变量(，y):4分配给第k种产品的第一种资源的数量（即4=x),0≤4≤S; y%分配给第k种产品的第二种资源的数量（即=），0≤≤1： 状态转移方程：Sk1=Sk一山，11=l-V: 指标函数：(S,),(u,)》=g(,),子过程指标函数为加式： 最优值函数f(S,4):以数量为S的第一种资源和数量为1的第二种资源分配给第k种产品至第n种产 品的生产时可获得的最大收益。 则得递推关系： f(,l)=max{8(uk,y)+f+(se-,-k,)},k=n,…,1 0e (S)=0 最终求得f(a,b)即为最大收益。 求解方法： 1.Lagrange乘数法 引入Lagrange乘数，将二种资源分配问题转化为一维资源分配问题。 给定入，考虑问题： maxz=8(x1,)+…+8n(xn,yn)-2y+…+yn) S1.X1+…+xn=a xj,y,≥0，j=1,…,n 令h(x)=max{8(x,y)-y},设最优解y(x)。则得一种资源分配问题： y203 得递推关系： 5 5 1 0 55 5 5 5 (0.9 500) / 3 ( ) max {8 5( ) (0.7 0.9( ))}, 4, ,1 ( ) max {8 5( )} k k kk k k k k k k k u s u s fs u s u f u s u k fs u s u + ≤ ≤ = − ⎧ = + −+ + − = ⎪ ⎨ = +− ⎪ ⎩ " 5.1.3 二维资源分配问题 设有两种资源，总数量分别为 a 和 b，用于生产 n 种产品。若分配数量为 xi 的第一种资源和数量为 yi 的第二种资源给第 i 种产品的生产，则可得收益 gi (xi, yi)。问应如何分配资源，使生产 n 种产品的总收 益最大？ 静态规划： 111 1 1 max ( , ) ( ,, ) . . , 0, 1, , nn n n n j j z g x y g x y st x x a y yb xy j n = + + ++= ++ = ≥ = " " " " 动态规划：设 阶段：把资源分配给一个产品的生产作为一个阶段， k n =1, , " ； 状态变量(,) k k s t ： k s 为分配给第 k 种产品至第 n 种产品的第一种资源的数量，0 k ≤ ≤ s a ； kt 为分配给第 k 种产品至第 n 种产品的第二种资源的数量，0 k ≤ ≤ t b ； 决策变量(,) k k u v ： k u 分配给第 k 种产品的第一种资源的数量(即 k k u x = )，0 k k ≤ u s ≤ ； k v 分配给第 k 种产品的第二种资源的数量(即 k k v y = )，0 k k ≤ v t ≤ ； 状态转移方程： k kk 1 s s u + = − ， k kk 1 t tv + = − ； 指标函数： (( , ),( , )) ( , ) k kk k k k k k v st uv guv = ，子过程指标函数为加式； 最优值函数 (,) k kk f s t ：以数量为 k s 的第一种资源和数量为 kt 的第二种资源分配给第 k 种产品至第 n 种产 品的生产时可获得的最大收益。 则得递推关系： 1 0 0 1 11 ( , ) max { ( , ) ( , ,)}, , ,1 ( , )0 k k k k k kk k k k k k kk k u s v t n nn fst guv f s ut v k n fst + ≤ ≤ ≤ ≤ + ++ ⎧ = + −− = ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ = " 最终求得 1f (,) a b 即为最大收益。 求解方法： 1．Lagrange 乘数法 引入 Lagrange 乘数，将二种资源分配问题转化为一维资源分配问题。 给定 λ ，考虑问题： 111 1 1 max ( , ) ( ,, ) ( ) . . , 0, 1, , nn n n n j j z g x y g x yy y st x x a xy j n = ++ − ++ λ ++= ≥ = " " " " 令 0 ( ) max{ ( , ) } i i i iii i y h x g x y y λ λ ≥ = − ，设最优解 ( ) i i y x λ 。则得一种资源分配问题：