定理( Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点 定理的证明 因S为有界点集,故M>0,使得 SCI-MM,记a1b1=MM 现将a1,b1等分为两个区间,因S为无限点集,故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2则 a12b1]=a2,b2l且b2-a2=(b1-a1)=M 将a2,b2l等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点,记其为a32b3则 a2,b2]=a3b31且b-a3=(b2-a2)S ， M 0, S [-M,M], [a ,b ] [-M,M] 因 为有界点集 故  使得  记 1 1 = •定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. •定理的证明 现将[a1 ,b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点， 记此子区间为 [a 2 ,b2 ],则 ( ) . 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 1 1  2 2 且 b2 - a2 = b1 - a1 = M 将[a 2 ,b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点， 记其为[a3 ,b3 ],则 . 2 ( ) 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 2 2 3 3 3 3 2 2 M  且 b - a = b - a =