例4设f(x),g(x)在a,b止上存在二阶导数,且g"(x)≠0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明(1)在(a,b内g(x)≠0 (2)存在∈(a,b)(5)=f"() g(2)g"(ξ) 证:(1)若c∈(a,b)使g(c)=0则g(a)=g(c)=g(b) 日51∈(a,c,22∈(c,b)使g(51)=g(2)=0 又g'(x)在4止满足R定理,3∈(a,b)使g"()=0矛盾) g(x)≠0 (2)kF(x)=f(x)g'(x)-f'(xg(x) F(a)=F(b)=0∴F(x)在a,b上满足R定理, ∈(a,b)使F'(4)=0 F'(8)=[f(x)g"(x)-f"(x)g(x) x=E=0( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) (2) , ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1 , ) ( ) 0; 4 ( ), ( ) [ , ] ( ) 0,     =    = = = =    g f g f a b f a f b g a g b a b g x f x g x a b g x 存 在 使 证明（ ）在（ 内 例 设 在 上存在二阶导数，且 证：(1) 若c(a,b)使g(c) = 0 则g(a) = g(c) = g(b)  1 (a,c), 2 (c,b)使g( 1 ) = g( 2 ) = 0 又g(x)在[ 1， 2 ]上满足R定理， (a,b)使g( ) = 0(矛盾)  g(x)  0. （2）设F(x) = f (x)g(x) − f (x)g(x) F(a) = F(b) = 0 F(x)在[a,b]上满足R定理，  (a,b)使F( ) = 0 F() = [ f (x)g(x) − f (x)g(x)]x= = 0