E(B)=E∑ky ∑ k,,E) ∑kE(B0+Ax)=B∑k+B∑kx 由于 x -x k 0 x -x ∑(x-x (x2-x) 所以 E(B1)=B1 4.估计量B的方差为 Va()= ∑(x1-x) 这是因为 va(B)=Va∑ky|=∑kva()=∑ka2=a2∑k2 由于 ∑k2=∑(xx一) ∑(x1-x) (x2-x) ∑(x-x) 因此,式(7)得证 5.对于总体模型中的参数B1,在它的所有线性无偏估计量中,最小二乘估计量B1 具有最小的方差。 记任意一个线性估计量 =∑cy 式中c1是任意常数,c不全为零,i=1,2,…n。要求B1是B1的无偏估计量,即 E(B)=∑cE()=月 另一方面,由于E(v)=B+B1x1,所以又可以写成 230-230- ∑ ∑ = = ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i i n i i i E E k y k E y 1 1 1 ) ( ) ˆ (β ∑ ∑ ∑ = = = = + = + n i i i n i i i n i i k E x k k x 1 1 1 0 1 0 1 (β β ) β β 由于 0 ( ) 1 1 1 2 = − − = ∑ ∑ ∑ = = = n i n i i i n i i x x x x k 1 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 2 = − − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = n i i n i i i i n i n i i i i n i i x x x x x x x x x x x k x 所以 1 1 ) ˆ E(β = β 4．估计量 1 β ˆ 的方差为 ∑= − = n i i x x 1 2 2 1 ( ) ) ˆ Var( σ β （7） 这是因为 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ⎟ = = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i n i i n i i i n i i i k y k y k k 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ) Var Var( ) ˆ Var(β σ σ 由于 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − = n i i n i i n i i n i n i i i n i i x x x x x x x x x x k 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ) ( ) ( 因此，式（7）得证。 5．对于总体模型中的参数 β1 ，在它的所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量 1 β ˆ 具有最小的方差。 记任意一个线性估计量 ∑= = n i i i c y 1 1 ~ β 式中 i c 是任意常数， i c 不全为零，i = 1,2,L, n 。要求 1 ~ β 是 β1 的无偏估计量，即 1 1 1 ) ( ) ~ (β = ∑ = β = n i i i E c E y 另一方面，由于 i i E y x 0 1 ( ) = β + β ，所以又可以写成