例向量组 1=(1,2,3),a2=(1,0,2) β1=(3,4,8),阝2=(2,2,5)2P3=(0,2, 等价 定理526(替换定理)设向量组{α1,2,,x}线性无关,并且每 C都可由向量组{β1,β2,B}线性表示那么必有r≤,并且必要时 对{B13β2,B}重新编号,使得用α12a2,αx替换β,B2,B后所得 向量组(x12a2,O2B+12…,.}与{β1,B2…,β}等价 推论527两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量 定义4向量组{a1202,an}一个部分向量组{a12C12…,an}称 为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组),如果 ,线性无关 (i)每一都可以由线性n12表示 推论528两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量 特别地,一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量例4 向量组 1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与 1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1) 等价. 定理5.2.6(替换定理) 设向量组{1 , 2 ,…, r}线性无关, 并且每 一i都可由向量组{1 , 2 ,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时 对{1 , 2 ,…, s}重新编号, 使得用1 , 2 ,…, r替换1 , 2 ,…, r后所得 向量组{1 , 2 ,…, r , r+1, …, s}与{1 , 2 ,…, s}等价. 推论5.2.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 定义 4 向量组{1 , 2 ,…, n}一个部分向量组{ }称 为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组), 如果 (i) 线性无关; (ii) 每一都可以由线性 表示. 推论5.2.8 两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量. 特别地, 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量. r i i i , , , 1 2  r i i i , , , 1 2  r i i i , , , 1 2 