引理：对任意m*n阶矩阵A均有rank(AHA)=rankA=rank(AAH) 证：Hx∈N(A),即Ax=O,则AHAx=0→N(A)CN(AHA) 另一方面Vx∈N(AHA),则 xHAH Ax=-0=(Ax)(Ax)→Ax=0→N(AHA)∈N(A) N(AHA)=N(A),又AHA与A的列数均为n, dimN(A)-n-rankA,dim N(4 A)=n-rank(44) →rank(AHA)=rankA. A←→AH,则rank(AAH)=rank A=rankA 定理3： 给定矩阵A,则Y=(AHA)0AH∈A{1,2,3} 4引理：对任意 m*n 阶矩阵 A 均有 rank(AH A) = rankA = rank(AA H ) 证： ∀ x∈N(A) , 即 A x =0 , 则 A H A x =0 →N(A)⊆N(A H A) 另一方面 ∀ x∈ ( ) H NAA ，则 H H x A Ax=0＝( ) H Ax ( Ax) ⇒ Ax = 0 → ( ) ( ) H NAA NA ⊆ ( ) ( ) H ∴ = NAA NA ，又 H A A与 A 的列数均为 n , dimN(A)=n－rankA , dim ( ) H NAA =n－rank( ) H A A ⇒ rank( ) H A A ＝rankA . A H ↔ A , 则 rank( ) H AA =rank H A =rankA. 定理 3： 给定矩阵 A , 则 Y= (1) ( ) H H AA A ∈A{1,2,3} 4