→rankZ=rankA 充分性. 因为R(ZA)sR(Z),而rankZ=rankA,Z∈A{I} rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z Ve∈Cm,3u∈C",使ZAu=Ze →ZA[u1u2…um]=Z[ee2…enm] 令[ee2…em]Hlm,[h42…um]=U(4,=n维，e,=m维) →3U使Z=ZAU 故 ZAZ-ZA(ZAU)-ZAU-Z →Z满足Penrose方程(i) 可见，Z∈A1,2} 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3⇒rankZ=rankA 充分性. 因为 R(ZA)⊆R(Z) , 而 rankZ=rankA , Z∈A{1} 故 rank(ZA)=rank(A)=rank(Z) →R(ZA)=R(Z) ∀e∈C m , ∃u ∈Cn ,使 ZAu =Ze → ZA[ 1 u 2 u m u ]＝Z[ 1 2 m ee e  ] 令 [ 1 2 m ee e  ]=I m , [ 1 u 2 u m u ]=U ( i u =n 维， j e ＝m 维) ⇒ ∃U 使 Z=ZAU 故 ZAZ=ZA(ZAU)=ZAU=Z →Z 满足 Penrose 方程(ii) 可见 , Z∈A{1,2}. 二、{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 3