西安电子科技大学$4.2.2 区函数复合运算的性质软件学院家家教家家教教家教家务『定理』设f:X→Y,g：Y→Z是函数，gf是f与g的复合函数a）若gf是满射的，则g是满射的；（b）若gof是单射的，则f是单射的；(c）若gof是双射的，则g是满射的且f是单射的。证明（b）（反证法）g°f是单射的，假设f不是单射的，则存在Xj，X2EX，X,≠X2，且有f (x)=f(x2)。又因为g是函数，所以存在z，使得g (f (区,))=g (f （x2))=z，即gof（x)=gof (x2)=z。这与gf是单射矛盾。所以是单射的。西安电子科技大学 §4.2.2 函数复合运算的性质 软件学院 『定理』设f: X→Y,g: Y→Z是函数，g◦f是f与g的复合函数。 （a）若g◦f是满射的，则g是满射的； （b）若g◦f是单射的，则f是单射的； （c）若g◦f是双射的，则g是满射的且f是单射的。 证明（b）（反证法）g◦f是单射的，假设f不是单射的，则存在 x 1, x 2∈X，x 1≠x 2，且有f (x 1)=f (x 2)。又因为g是函数，所以 存在z，使得g (f (x 1))=g (f ( x 2))=z，即g◦f ( x 1)=g◦f (x 2)=z。这 与g◦f是单射矛盾。所以f是单射的