∑(-y2=∑(-j)2+∑(-)2+2∑(-- 由于 ∑(-M-列=∑(--Bx+Bx-y) =B∑(,--x)+B∑x(-A-Bx)-∑(-成-月x)=0 因此,得到正交分解式为 ∑(y-y)2= ∑(-,) ST=∑(,-y),这是原始数据y的总变异平方和,其自由度为4=n-1 SR=∑(-y)2,这是用拟合直线=B+Bx可解释的变异平方和,其自 由度为dfR=1 SSE=∑(y-元),这是残差平方和,其的自由度为d=n-2 所以,有 SST=SSR+SsE, dfr=de +df 从上式可以看出,y的变异是由两方面的原因引起的;一是由于x的取值不同,而 给y带来的系统性变异;另一个是由除x以外的其它因素的影响。 注意到对于一个确定的样本(一组实现的观测值),SST是一个定值。所以,可解 释变异SSR越大,则必然有残差SSE越小。这个分解式可同时从两个方面说明拟合方 程的优良程度 (1)SSR越大,用回归方程来解释y变异的部分越大,回归方程对原数据解释得 越好; (2)SSE越小,观测值ν绕回归直线越紧密,回归方程对原数据的拟合效果越好。 因此,可以定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度,这就是所谓 的判定系数,有些文献上也称之为拟合优度 判定系数是指可解释的变异占总变异的百分比,用R2表示,有 ST(I-SSE SSR (15) 从判定系数的定义看,R2有以下简单性质: (1)0≤R≤1 (2)当R2=1时,有SSR=SST,也就是说,此时原数据的总变异完全可以由拟 合值的变异来解释,并且残差为零(SSE=0),即拟合点与原数据完全吻合 (3)当R2=0时,回归方程完全不能解释原数据的总变异,y的变异完全由与x-234- ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = − = − + − + − − n i i i i n i i n i i i n i i y y y y y y y y y y 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) 2 ( ˆ )( ˆ ) 由于 ∑ ∑ = = − − = − − + − n i i i i n i i i i y y y y y x x y 1 0 1 0 1 1 ) ˆ ˆ )( ˆ ˆ ( ˆ )( ˆ ) ( β β β β ) 0 ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 1 0 1 1 1 0 1 1 = 0∑ − 0 − 1 + ∑ − − − ∑ − − = = = = n i i i n i i i i n i i i β y β β x β x y β β x y y β β x 因此，得到正交分解式为 ∑ ∑ ∑ = = = − = − + − n i i i n i i n i i y y y y y y 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) （14） 记 ∑= = − n i i SST y y 1 2 ( ) ，这是原始数据 i y 的总变异平方和，其自由度为 df = n −1 T ； ∑= = − n i i SSR y y 1 2 ( ˆ ) ，这是用拟合直线 i i y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 可解释的变异平方和，其自 由度为 = 1 R df ； ∑= = − n i i i SSE y y 1 2 ( ˆ ) ，这是残差平方和，其的自由度为 df = n − 2 E 。 所以，有 SST = SSR + SSE ， T R E df = df + df 从上式可以看出，y 的变异是由两方面的原因引起的；一是由于 x 的取值不同，而 给 y 带来的系统性变异；另一个是由除 x 以外的其它因素的影响。 注意到对于一个确定的样本（一组实现的观测值），SST 是一个定值。所以，可解 释变异 SSR 越大，则必然有残差 SSE 越小。这个分解式可同时从两个方面说明拟合方 程的优良程度： （1）SSR 越大，用回归方程来解释 i y 变异的部分越大，回归方程对原数据解释得 越好； （2）SSE 越小，观测值 i y 绕回归直线越紧密，回归方程对原数据的拟合效果越好。 因此，可以定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度，这就是所谓 的判定系数，有些文献上也称之为拟合优度。 判定系数是指可解释的变异占总变异的百分比，用 2 R 表示，有 (1 ) 2 SST SSE SST SSR R = = − （15） 从判定系数的定义看， 2 R 有以下简单性质： （1）0 1 2 ≤ R ≤ ； （2）当 1 2 R = 时，有 SSR = SST ，也就是说，此时原数据的总变异完全可以由拟 合值的变异来解释，并且残差为零（ SSE = 0 ），即拟合点与原数据完全吻合； （3）当 0 2 R = 时，回归方程完全不能解释原数据的总变异， y 的变异完全由与 x