《数学分析》教案】 第十章定积分的应用 海南大学数学系 AS≈fx)+fx+AxrN△r2+△y2 =2+4+0Fa 其中Ay=fx+△)-fx).由于 思49=0思+袋=+2a. 因此由∫()的连续性有 e+A+0a-2wn+产国a=a 所以得到 ds=(x)+2 (x)dx. S=2πfx)N1+2(x)d 若光滑曲线C:x=),y=),1∈a,刷，且)≥0，则曲线绕x轴旋转所得 旋转曲面的面积为 S=2πy0Nx2(0)+y2(0)d 例1、计算圆2+)2=R2在[，]c-R风上的弧段x轴旋转所得球带的 面积。 解：对曲线y=VR2-产在区间，上应用公式得 s=2mjVR2-7,+2 1 R2-xk =2πR∫dk=2R(x2-x) 特别当=-R2=R时，则得球的表面积S=4R 例2、计算由内摆线x=acos',y=asn31绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。 解：由曲线关于y轴的对称性及公式得 2 《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 2 2 S  [ f (x) + f (x + x)] x + y [2 ( ) ] 1 ( ) , 2 x x y f x y    =  +  + 其中 y = f (x + x) − f (x). 由于 lim 0, lim 1 ( ) 1 ' ( ), 2 2 0 0 f x x y y x x = +    = +  →  → 因此由 f '(x) 的连续性有 [2 ( ) ] 1 ( ) 2 ( ) 1 ' ( ) ( ). 2 2 x f x f x x x x y f x y  −  +  =     +  +  所以得到 2 ( ) 1 ' ( ) , 2 dS = f x + f x dx 2 ( ) 1 ' ( ) . 2 S f x f x dx b a  =  + 若光滑曲线 C : x = x(t), y = y(t),t [,] ，且 y(t)  0 ，则曲线绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为 2 ( ) ' ( ) ' ( ) . 2 2 S y t x t y t dt    =  + 例 1、计算圆 2 2 2 x + y = R 在[ , ] [ , ] x1 x2  −R R 上的弧段 x 轴旋转所得球带的 面积。 解： 对曲线 2 2 y = R − x 在区间 , ] 1 2 x x 上应用公式得 dx R x x S R x x x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 − =  − +  2 2 ( ). 2 1 2 1 R dx R x x x x =  =  −  特别当 x1 = −R, x2 = R 时，则得球的表面积 S = 4R. 例 2、计算由内摆线 x a t y a t 3 3 = cos , = sin 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积。 解： 由曲线关于 y 轴的对称性及公式得