§7二元高次方程组 、结式的概念 引理设 f(x)=a0x+a1x+…+an 8(x)=bx"+b1x"+…+bn 是数域P上两个非零的多项式,它们的系数a0,b不全为零于是f(x)与g(x)在 Px]中有非常数的公因式◇→在Px中存在非零的次数小于m的多项式u(x)与 次数小于n的多项式v(x),使 u(xf(x)=v(x)g(x) 下面把引理中的条件改变一下.令 u(x)=uox m-2+…+lm-17 v(x)=vor"+vix 由多项式相等的定义,等式 u(x)f(x)=v(x)g(x) 就是左右两端对应系数相等,即 dolo =b0v, a,lo+aou b,vo +bov, auo+au,+aou2=bvo+bv,+boy2 a,um-2 ta-ll b y n-2 b a u m-I 如果把(6)看成一个关于未知量的方程组,那么它是一个含个未知量,个方程的 齐次线性方程组显然,引理中的条件:“在P[x中存在非零的次数小于m的多 项式u(x)与次数小于n的多项式v(x),使(5)成立”就相当于说,齐次线性方程 组(6)有非零解 我们知道,齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列 式等于零 把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换,再把后边的行反号,取§7 二元高次方程组 一、结式的概念 引理 设 ( ) (2) ( ) , (1) 1 0 1 1 0 1 m m m n n n g x b x b x b f x a x a x a = + + + = + + + − −   是数域 P 上两个非零的多项式，它们的系数 0 0 a ,b 不全为零.于是 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中有非常数的公因式  在 P[x] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u(x) 与 次数小于 n 的多项式 v(x) ，使 u(x) f (x) = v(x)g(x) 下面把引理中的条件改变一下.令 ( ) . ( ) , 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 − − − − − − = + + + = + + + n n n m m m v x v x v x v u x u x u x u   由多项式相等的定义，等式 u(x) f (x) = v(x)g(x) (5) 就是左右两端对应系数相等，即            = + = + + + = + + + = + = − − − − − − − − . , , , , 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 n m m n n m n m m n m n a u b v a u a u b v b v a u a u a u b v b v b v a u a u b v b v a u b v  (6) 如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的 齐次线性方程组.显然，引理中的条件：“在 P[x] 中存在非零的次数小于 m 的多 项式 u(x) 与次数小于 n 的多项式 v(x) ，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程 组(6)有非零解. 我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列 式等于零. 把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取