·282 智能系统学报 第12卷 列，作为观测矩阵的第2列： (382-83) log2(12/8) (15) 3)其他步骤参见循环m序列观测矩阵的构造 48 log2(N/k) 方法。 式中k为信号的稀疏度。 生成的矩阵形式如式(9)所示，同样可以看成 从矩阵的构造方法来看，循环m序列和循环 循环gold序列矩阵，本文称为循环gold序列观测 gold序列观测矩阵具有良好的互相关特性，与非相 矩阵。 干性条件恰好吻合，由于构造的观测矩阵满足一定 「g1 8n gn 的线性独立随机性，符合观测传感对观测矩阵的 82 81 8n-1 要求。 G.= (9) 3 仿真验证与分析 8m-1 81」 上述步骤中之所以要顺序选取M行向量构成 本文通过改进部分哈达玛观测矩阵的构造方 观测矩阵，也是出于计算能力的考虑，毕竞嵌入式 式，构造了顺序部分哈达玛观测矩阵：利用伪随机 系统硬件计算能力较弱，随机选取会增加计算消耗。 序列中的m序列和gold序列的特性构造了循环m 序列和循环gold序列观测矩阵，并给出了简单的数 2伪随机观测矩阵相关证明 学证明来说明伪随机序列可以作为观测矩阵。下 m序列和gold序列都是伪随机序列，1与0出 面通过仿真来验证所构造的观测矩阵的性能。首 现的概率约为1/2，可以认为伪随机序列是二值序 先，将顺序部分哈达玛矩阵与部分哈达玛矩阵进行 列，因此由伪随机序列构成的观测矩阵元素是服从 对比：然后，将所构造的循环伪随机序列的可用性 均匀分布的。上一个章节已经说明，当观测矩阵Φ 与其他观测矩阵进行对比；最后，将所构造的观测 满足式(5)分布时，将以极大的概率满足RP条件。 矩阵在常用重构算法上进行对比分析。 本文可以将按照式(5)分布的观测矩阵划分为两个 本文仿真采用二维Lena标准图像进行分块压 随机二进制矩阵： 缩采样和重建，选取大小为8×8块，采用离散余弦 Φ.=Φ。-Φ。 变换(DCT)进行稀疏变换，采样率分别为0.25,0.5 (10) 压缩感知观测过程为 和0.75。 y=Φ (11) 3.1顺序部分哈达玛观测矩阵仿真分析 将其等价成如下形式： 对顺序部分哈达玛观测矩阵进行仿真实验分 y:=〈x,9〉，i=1,2,…,n (12) 析，重建算法选用的是正交匹配追踪(OMP)算法， 则对于每一个观测值有 其仿真结果如表1所示。 表1重构图像PSNR值 y(x,Φ)=y(x,Φ)- Table 1 PSNR value of reconstructed image dB y.(x,Φ)，1≤i≤n(13) 由式(13)可以看出，当Φ获取原始信号x的全 部分哈达玛矩阵 0.25 0.5 0.75 部信息时，Φ。只获取了一部分信息。假设Φ，所获 顺序1：M 25.10 29.82 29.92 取的信息量为1，则当n足够大的时候，Φ。获取的 顺序N-M+1:N 25.06 29.82 29.92 信息量将以(14)式所示的概率变化： 随机选取 20.07 24.92 29.37 1-(1/2)"=1-2-4 (14) 通过表1可以看出，当采样率较低时，顺序部分 最终获得的信息量也接近1。根据文献 哈达玛观测矩阵重建后图像的PSNR值要比随机选 [14-15]可以得出结论：④。是一个服从随机二进制 取的部分哈达玛矩阵明显高出近5dB:当采样率较 分布的大小为n×N的矩阵，给定n,N,6∈(0,1)和 高时，两者之间的差距就不大了。这种顺序选取的 k≤cm/Iog2(N/k),存在c1,c2>0,则当存在一个相应 部分哈达玛矩阵，结构固定，无需多次测量，可以在 的服从式(5)的随机均匀分布矩阵重，以概率p≥ 采样率较低的情况下达到很好的重构效果。另外， 1-2exp(-nc2)满足RIP时，随机二进制矩阵④。能 哈达玛观测矩阵存在蝶型快速算法，非常适用于硬 使可压缩信号以概率p≥[1-2exp(-nc2)](1-2") 件系统，从而减少系统的能源消耗，为硬件实现压 精确重构。其中： 缩感知原理提供了较好的支持。列，作为观测矩阵的第 ２ 列； ３）其他步骤参见循环 ｍ 序列观测矩阵的构造 方法。 生成的矩阵形式如式（９） 所示，同样可以看成 循环 ｇｏｌｄ 序列矩阵，本文称为循环 ｇｏｌｄ 序列观测 矩阵。 Ｇｘ ＝ ｇ１ ｇｎ … ｇｎ ｇ２ ｇ１ … ｇｎ－１ ︙ ︙ ︙ ｇｎ ｇｎ－１ … ｇ１ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú （９） 上述步骤中之所以要顺序选取 Ｍ 行向量构成 观测矩阵，也是出于计算能力的考虑，毕竟嵌入式 系统硬件计算能力较弱，随机选取会增加计算消耗。 ２ 伪随机观测矩阵相关证明 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列都是伪随机序列，１ 与 ０ 出 现的概率约为 １ ／ ２，可以认为伪随机序列是二值序 列，因此由伪随机序列构成的观测矩阵元素是服从 均匀分布的。 上一个章节已经说明，当观测矩阵 Φ 满足式（５）分布时，将以极大的概率满足 ＲＩＰ 条件。 本文可以将按照式（５）分布的观测矩阵划分为两个 随机二进制矩阵： Φｓ ＝ Φａ － Φｂ （１０） 压缩感知观测过程为 ｙ ＝ Φｘ （１１） 将其等价成如下形式： ｙｉ ＝ 〈ｘ， φｉ〉，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１２） 则对于每一个观测值有 ｙｉ（ｘ，Φｓ） ＝ ｙｉ（ｘ，Φａ ） － ｙｉ（ｘ，Φｂ）， １ ≤ ｉ ≤ ｎ （１３） 由式（１３）可以看出，当Φｓ 获取原始信号 ｘ 的全 部信息时，Φａ 只获取了一部分信息。 假设Φｓ 所获 取的信息量为 １，则当 ｎ 足够大的时候，Φａ 获取的 信息量将以（１４）式所示的概率变化： １ － （１ ／ ２） ｎ ＝ １ － ２ －ｎ （１４） 最 终 获 得 的 信 息 量 也 接 近 １。 根 据 文 献 ［１４－１５］可以得出结论：Φａ 是一个服从随机二进制 分布的大小为 ｎ×Ｎ 的矩阵，给定 ｎ，Ｎ，δ∈（０，１）和 ｋ≤ｃｎ ／ ｌｏｇ２（Ｎ／ ｋ），存在 ｃ１ ，ｃ２ ＞０，则当存在一个相应 的服从式（５） 的随机均匀分布矩阵 Φｓ 以概率 ｐ≥ １－２ｅｘｐ（ －ｎｃ２ ） 满足 ＲＩＰ 时，随机二进制矩阵Φａ 能 使可压缩信号以概率 ｐ≥［１－２ｅｘｐ（ －ｎｃ２ ）］ （１－２ －ｎ ） 精确重构。 其中： ｃ２ ≤ （３δ ２ － δ ３ ） ４８ － ｃ１ １ ＋ ｌｏｇ２（１２／ δ） ｌｏｇ２（Ｎ／ ｋ） é ë ê ê ù û ú ú （１５） 式中 ｋ 为信号的稀疏度。 从矩阵的构造方法来看，循环 ｍ 序列和循环 ｇｏｌｄ 序列观测矩阵具有良好的互相关特性，与非相 干性条件恰好吻合，由于构造的观测矩阵满足一定 的线性独立随机性，符合观测传感对观测矩阵的 要求。 ３ 仿真验证与分析 本文通过改进部分哈达玛观测矩阵的构造方 式，构造了顺序部分哈达玛观测矩阵；利用伪随机 序列中的 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列的特性构造了循环 ｍ 序列和循环 ｇｏｌｄ 序列观测矩阵，并给出了简单的数 学证明来说明伪随机序列可以作为观测矩阵。 下 面通过仿真来验证所构造的观测矩阵的性能。 首 先，将顺序部分哈达玛矩阵与部分哈达玛矩阵进行 对比；然后，将所构造的循环伪随机序列的可用性 与其他观测矩阵进行对比；最后，将所构造的观测 矩阵在常用重构算法上进行对比分析。 本文仿真采用二维 Ｌｅｎａ 标准图像进行分块压 缩采样和重建，选取大小为 ８×８ 块，采用离散余弦 变换（ＤＣＴ）进行稀疏变换，采样率分别为 ０．２５，０．５ 和 ０．７５。 ３．１ 顺序部分哈达玛观测矩阵仿真分析 对顺序部分哈达玛观测矩阵进行仿真实验分 析，重建算法选用的是正交匹配追踪（ＯＭＰ） 算法， 其仿真结果如表 １ 所示。 表 １ 重构图像 ＰＳＮＲ 值 Ｔａｂｌｅ １ ＰＳＮＲ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｍａｇｅ ｄＢ 部分哈达玛矩阵 ０．２５ ０．５ ０．７５ 顺序 １：Ｍ ２５．１０ ２９．８２ ２９．９２ 顺序 Ｎ－Ｍ＋１：Ｎ ２５．０６ ２９．８２ ２９．９２ 随机选取 ２０．０７ ２４．９２ ２９．３７ 通过表 １ 可以看出，当采样率较低时，顺序部分 哈达玛观测矩阵重建后图像的 ＰＳＮＲ 值要比随机选 取的部分哈达玛矩阵明显高出近 ５ ｄＢ；当采样率较 高时，两者之间的差距就不大了。 这种顺序选取的 部分哈达玛矩阵，结构固定，无需多次测量，可以在 采样率较低的情况下达到很好的重构效果。 另外， 哈达玛观测矩阵存在蝶型快速算法，非常适用于硬 件系统，从而减少系统的能源消耗，为硬件实现压 缩感知原理提供了较好的支持。 ·２８２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷