第一章度量空间 度量空间是实直线R的推广,其在泛函分析中的地位和 作用类似于微积分中的实直线R.度量空间对数学各种不同 分支中的问题统一处理提供了基础 在微积分中许多结果不依赖于实数或复数的代数结构, 而只与两个数x与y之间的距离概念有关.例如,我们考虑极 限lmf(x)=l,这里只用到x与x以及f与l之间的距离概念 给出了函数极限的定义.从极限概念出发,从而引出了函数 的连续性等重要理论 本章将在一般抽象集合上定义距离(度量),并在此基 础上研究极限、连续和完备等概念. 重要概念、主要内容的概述 首先定义度量空间(§1.1),它是一集合X在其上赋予了 度量,这里的度量就是X的两个元素(点)间的距离函数, 并由一组公理规定这些公理是根据实直线与复平面C上的 两点间距离而抽象得到.(§1.2)例题说明度量空间是广泛存 在的一般概念.研究度量空间的一个重要问题是看其是否具 有完备性(§1.5)及如何使之完备化(§1.6).另一概念是度 量空间是否具有可分性(§1.3),可分的度量空间比不可分的 简单