81.1度量空问 在微积分中研究了定义在实直线R上的函数及其极限, 那里的极限是以R上的距离作基础定义的,而R上任意二点 x,y的距离为:d(x,y)=|x-y。 在泛函分析中,我们将研究更一般的“空间”和定义在 其上的“函数”及相应的“极限”.因此,首先应将R上距 离的概念推广到一般抽象集合X上,并使其具有R上距离的几 个最基本的性质。这样就产生了泛函分析中重要的基本概 念 11-1定义(度量空间,度量).度量空间是由一非空集 合X与一度量d〈或称做距离函数)组成的对(X,d),其中 d是定义⑩在XxX上的一个函数,且对于任意x,y,z∈X, 有: (M1)d是有限的非负实数 (M2)d(x,y)=0当且仅当x=y (M3)d(x, y)=d(y, x) (对称性) (M4)d(xy)≤d(x,2)+d(z,y).(三角不等式) X的元素x称为点,对于固定的x,y∈X,称非负数d(x,y)为 x到y的距离.(M1)至(M4)是度量公理 根据(M4),我们用数学归纳法可证得推广的三角不等 式 d(x1,x)≤d(x1,x2)+d(x2,x)+…+d(x,-1xn) ①符号表示集合的笛卡儿乘积,X×X表示X里元素的所有有序对的集 合